- 变化率与导数
- 共3697题
设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为
,令
,则
的值为 .
正确答案
-2
试题分析:由y=xn+1(n∈N*)得到导函数y′=(n+1)xn,
令x=1得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,
在点(1,1)处的切线方程为y-1=k(xn-1)=(n+1)(xn-1),
不妨设y=0,xn=,
所以,=lg(x1•x2•…•x99)=
.
故答案为-2.
点评:中档题,本题综合性较强,总体难度不大,因为解题的思路比较明确。本题可推广到一般的n。
已知函数与
的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为
,则
.
正确答案
2
试题分析:解与
联立方程组得,x=0,或 x=k,所以,图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为
=
,故
2.
点评:简单题,图象所围成的阴影部分的面积,是在同一区间的两函数定积分之差。
已知向量。
(Ⅰ)若向量 的夹角为
,求
的值;
(Ⅱ)若,求
的夹角。
正确答案
(1) ;(2)
。
试题分析:(1) ..........2
=
= ......................3
(2)
=................4
= ......................6
=
=
=0
........................8
点评:典型题,本题难度不大,在向量的运算中,灵活地实现向量运算与实数运算的相互转化,是解题的关键。
设函数=
(
为自然对数的底数),
,记
.
(1)为
的导函数,判断函数
的单调性,并加以证明;
(2)若函数=0有两个零点,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)在
上单调递增.(2)实数a的取值范围是(0,2)。
试题分析:(1),∴
,
令,则
,
∴在
上单调递增,即
在
上单调递增.
(2)由(1)知在
上单调递增,而
,
∴有唯一解
,
的变化情况如下表所示:
又∵函数有两个零点,
∴方程有两个根,即方程
有两个根
而,
,
解得.
所以,若函数有两个零点,实数a的取值范围是(0,2)
点评:中档题,利用导数研究函数单调区间,进一步判断函数零点情况,提供了解答此类问题的一般方法。
从轴上一点A分别向函数
与函数
引不是水平方向的切线
和
,两切线
、
分别与
轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为
,△OAC的面积为
,则
+
的最小值为 .
正确答案
8
试题分析:,设两切点分别为
,
,(
,
),
:
,即
,令
,得
;
令,得
.
:
,即
,令
,得
;令
,得
.依题意,
,得
,
+
=
=
=
,
=
,可得当
时,
有最小值8.
点评:利用导数求解曲线在某点的切线方程是解决此类问题的关键,对于高次函数的最值问题常常利用导数法求解
已知函数
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)任意,
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)在区间
递增,在区间
递减 (2)
试题分析:(1)时,
,
,
时
;
时
,
函数在区间
递增,在区间
递减.
(2)由已知得时,
恒成立, 即
时,
恒成立。
设,
,
时,
,
在区间
递减,
时,
,故
;
时,若
,则
,函数
在区间
递增,
若,即
时,
在
递增,则
,矛盾,故舍去;
若,即
时,
在
递减,在
递增,且
时
,,矛盾,故舍去.
综上,.
点评:本题考查函数的单调性,考查导数知识的运用,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)设,如果过点
可作曲线
的三条切线,证明:
正确答案
(1)(2)设切线
,方程
有三个相异的实数根.函数
与x轴有三个交点,
得
,满足极大值
,极小值
得
试题分析:(1)求函数的导数;
.(1分) 曲线
在点
处的切线方程为:
, (2分)
即 . (4分)
(2)如果有一条切线过点,则存在
,使
. (5分)
于是,若过点可作曲线
的三条切线,则方程
有三个相异的实数根.(6分) 记
,则
. ((7分)
当变化时,
变化情况如下表:
(表10分)(画草图11分)由
的单调性,当极大值
或极小值
时,方程
最多有一个实数根;
当时,解方程
得
,即方程
只有两个相异的实数根;
当时,解方程
得
,即方程
只有两个相异的实数根.
综上,如果过可作曲线
三条切线,即
有三个相异的实数根,则
(13分) 即
. (14分)
点评:几何意义:函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率,第一问利用几何意义求得斜率;第二问有三条切线即有三个切点,转化为方程有三个不同的根,利用函数与方程的关系转化为函数图像与x轴有三个交点,即可通过极值判定,本题难度较大
已知
⑴若是
的极值点,求实数
值。
⑵若对都有
成立,求实数
的取值范围。
正确答案
(1) (2)
试题分析:、① 解得
(2分)
②,
在
↗
(4分)
,
当时,
在
↗,
不符题意 (6分)
当时,
解得
,
解得
,得到
在
↘ ,在
↗,
解得
(9分) 当
,
,
在
↘
解得
即
满足条件 ∴
(12分)
点评:解决该试题的关键是利用导数的极值的含义,确定导数为零点,进而得到解析式,同时利用不等式的恒成立,转化为求解最值,是转化思想的考查,中档题。
曲线 在点(1,1)处的切线方程为 ________
正确答案
试题分析:因为,所以
,所以
,所以在点(1,1)处的切线方程为
,
点评:曲线在某点处的导数就是在这点切线的斜率。这条在考试中经常考到。属于基础题型。
已知,其中
是自然常数,
(Ⅰ)当时, 研究
的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:;
正确答案
(Ⅰ)的极小值为
;(Ⅱ)
。
试题分析:(1)因为,
,那么求解导数的正负,得到单调性的求解。
(2) 的极小值为1,即
在
上的最小值为1,
∴ ,
,构造函数令
,确定出最大值。比较大小得到。
解:(Ⅰ),
……2分
∴当时,
,此时
单调递减
当时,
,此时
单调递增 …………4分
∴的极小值为
……6分
(Ⅱ)的极小值为1,即
在
上的最小值为1,
∴ ,
……5分
令,
, …………8分
当时,
,
在
上单调递增 ………9分
∴ ………11分
∴在(1)的条件下,……………………………12分
点评:解决该试题的关键是利用导数的正负判定函数单调性,和导数为零点的左右符号的正负,进而得到函数极值,进而求解最值。
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