热门试卷

(Ⅰ)y=  (Ⅱ)   略

      （1）y =

=．…………6分

（2）当时，y≥

当且仅当，即x =时取等号

即当x =时，；……………9分

当时，，故y = f (x)在(0，20]上是减函数，

故当x = 20时，="153" + 180a．……12分

答：若，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若时，则当车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少．……13分

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程。

（Ⅱ）函数的递增区间为，递减区间为。

（Ⅲ）的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）当时，           1分

                            .2分

所以曲线在点处的切线方程            3分

（Ⅱ）     4分

当时，解，得，解，得

所以函数的递增区间为，递减区间为在            5分

时，令得或

ⅰ）当时，

        6分

函数的递增区间为，，递减区间为        7分

ⅱ）当时， 

在上，在上                      8分

函数的递增区间为，递减区间为                9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，

所以，                                     11分

存在，使       即存在，使，

方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于 

所以有      即解得：        13分

方法二：将 整理得 

从而有所以的取值范围是.              13分

点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。曲线切线的斜率，等于函数在切点处的导函数值。在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于0.

（1）（2）（3）对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

试题分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

∵，，，

即最大值为，．                  4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，，

恒成立，即．

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，．            8分

（3）由条件，，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，

不妨设，则，且．

是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

， ，              10分

是否存在等价于方程在且时是否有解．

①若时，方程为，化简得，

此方程无解；                            11分

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，方程总有解．

对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．      14分

点评：求函数最值通过函数导数求得极值，比较极值与闭区间的边界值的大小得最值，不等式恒成立中求参数范围的题目常采用分离参数法转化为求函数最值的问题

由函数的图象在点处的切线的方程为：知：，即。∵

，解得：（∵舍去）。所以所求的函数的解析式为：

（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.

试题解析：（Ⅰ），

由条件知，故则                 3分

于是.

故当时，；当时，。

从而在上单调递减，在上单调递增. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增，

故在上的最大值为 最小值为      10分

从而对任意有，

而当时，，从而 12分

(Ⅰ) （Ⅱ），利用单调性证明

试题分析：(Ⅰ)首先，  ，有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得 

（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故.

解得： ，设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.因在区间上是减函数，如能证明则更有由韦达定理，，

令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 

（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.

由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，

（用表示的关系式与此相同），这样

即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.

点评：对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想的运用