- 变化率与导数
- 共3697题
已知函数f（x）=ex，则当x1＜x2时，下列结论正确的是（ ）
Ae
Be
Ce
De
正确答案
解析
解：∵f（x）=ex，∴f′（x）=ex，
∴x1＜x2时，f′（x2）=e
故选：C．
物体的运动方程是s=-
正确答案
3
解析
解：∵s′=-
∴s′|t=3=-
∵s″=-t+6，
∴s″|t=3=-3+6=3，
故答案为：
已知函数y=ex的图象在点
正确答案
-6
解析
解：∵y=ex，
∴y′=ex，
∴y=ex在点（ak，eak）处的切线方程是：
y-eak=eak（x-ak），
整理，得eakx-y-akeak+eak=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1，
∴ak+1=ak-1，
∴{an}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，
∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．
故答案为：-6．
路灯距地面为8米，一个身高为1.7米的人以每秒1.4米的速度均匀地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影的变化速率为______米/秒．
正确答案
解析
设人为线段CD，
得出
解得v=
人影长度变化速度是
故答案为：
一质点运动的方程为s=8-3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
正确答案
解：由题意可知：
（1）∵s=8-3t2
∴△s=8-3（1+△t）2-（8-3×12）=-6△t-3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s‘（t）=（8-3t2）'=6t，
∴当t=1时，v=-6×1=-6．
解析
解：由题意可知：
（1）∵s=8-3t2
∴△s=8-3（1+△t）2-（8-3×12）=-6△t-3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s‘（t）=（8-3t2）'=6t，
∴当t=1时，v=-6×1=-6．
物体的运动方程
正确答案
解析
解：物体的速度方程v=S′（t）=
即它的初始速度是1
故选B．
设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
正确答案
解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12
解得：a=1，b=-3．
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
解析
解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12
解得：a=1，b=-3．
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设
正确答案
解：（1）由a=2，得f（x）=|2x-x2|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时，
由f′（x）=0，得-2x2+2x+1=0，解得
当
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
当x＞2时，
由f′（x）=0，得2x2-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（
（2）
①若a≤1，则
∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1-lnx≥0，x2+1-lnx≥0，∴g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1-a．
②a≥e，则g（x）=a-x+
令h（x）=-x2+1-lnx，则
所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．
所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a-e+
③当1＜a＜e，
由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（a）=
综上得g（x）的最小值为g（a）=
解析
解：（1）由a=2，得f（x）=|2x-x2|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时，
由f′（x）=0，得-2x2+2x+1=0，解得
当
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
当x＞2时，
由f′（x）=0，得2x2-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（
（2）
①若a≤1，则
∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1-lnx≥0，x2+1-lnx≥0，∴g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1-a．
②a≥e，则g（x）=a-x+
令h（x）=-x2+1-lnx，则
所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．
所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a-e+
③当1＜a＜e，
由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（a）=
综上得g（x）的最小值为g（a）=
若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则
正确答案
解析
解：由题意，根据导数的定义，可知f′（x0）=
∴
故选B．
点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=
正确答案
解析
解：∵s=
∴S′=t3
S′=0，解得t=0，
故选：B
扫码查看完整答案与解析