- 变化率与导数
- 共3697题
函数的图像在点M
处的切线方程是
,
= 。
正确答案
4
∵切点既在曲线上也在切线上,∴,
,∴
=4
设.若曲线
与直线
所围成封闭图形的面积为
,则
______.
正确答案
试题分析: .
已知函数.
⑴ 求函数的单调区间;
⑵ 如果对于任意的,
总成立,求实数
的取值范围;
⑶ 是否存在正实数,使得:当
时,不等式
恒成立?请给出结论并说明理由.
正确答案
(1).;(2)
⑶详见解析.
试题分析:(1)利用求导的基本思路求解,注意导数的四则运算;(2)利用转化思想将问题转化为总成立,只需
时
.借助求导,研究
的性质,通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数
的取值范围;⑶通过构造函数和等价转化思想,将问题转化为
,要使
在
上恒成立,只需
.然后利用求导研究函数的最大值,进而证明结论.
试题解析::(1) 由于,
所以. (2分)
当,即
时,
;
当,即
时,
.
所以的单调递增区间为
,
单调递减区间为. (4分)
(2) 令,要使
总成立,只需
时
.
对求导得
,
令,则
,(
)
所以在
上为增函数,所以
. (6分)
对分类讨论:
① 当时,
恒成立,所以
在
上为增函数,所以
,即
恒成立;
② 当时,
在上有实根
,因为
在
上为增函数,所以当
时,
,所以
,不符合题意;
③ 当时,
恒成立,所以
在
上为减函数,则
,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数的取值范围是
. (9分)
(3) 存在正实数使得当
时,不等式
恒成立.
理由如下:令,要使
在
上恒成立,只需
. (10分)
因为,且
,
,所以存在正实数
,使得
,
当时,
,
在
上单调递减,即当
时,
,所以只需
均满足:当
时,
恒成立. (12分)
注:因为,
,所以
已知函数,
(1)
(2)是否存在实数,使
在
上的最小值为
,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由。
正确答案
(1)-1
(2) 存在,使
在
上的最小值为
试题分析:解:(1). 1分
(2)假设存在实数,使
在
上的最小值为
,
.
………6分
令=0,得
………7分
下面就与区间
的相对位置讨论,
① 若,则
,
即在
上恒成立,此时
在
上为增函数, 8分
(舍去). 9分
② 若,则
,即
在
上恒成立,
此时在
上为减函数, 10分
(舍去).………11分
③ 若, (方法1):列表如下
………12分
………13分
综上可知:存在,使
在
上的最小值为
………14分
(方法2):当时,
在
上为减函数,
当时,
在
上为增函数,………12分
, ………13分
综上可知:存在,使
在
上的最小值为
………14分
点评:考查了导数的几何意义,以及运用导数的知识求解函数的最值问题,属于基础题。
已知定义域为的函数
满足
,
是
的导函数,
则不等式
的解集为_______.
正确答案
试题分析:记函数,则
,∵
,∴
对
都成立,∴函数h(x)在R上单调递减,又
,∴
,∴x>1,故不等式
的解集为
点评:对于抽象函数不等式往往利用函数的单调性处理,在判断单调性时,一般利用导数法判断
设,(
),曲线
在点
处的切线垂直于
轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值。
正确答案
(Ⅰ) (Ⅱ)极大值3
试题分析:
解:(Ⅰ),
………………………………………………………………2分
由于曲线在点
处的切线垂直于
轴,故该切线斜率为0,即
,…………………………………………………………………………5分
…………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
令故
在
上为增函数;…………………………9分
令,故
在
上为减函数;…………………………12分
故在
处取得极大值
。…………………………………………13分
点评:要求学生掌握常见函数的求导公式及导数与单调性的关系
已知函数
(1)求函数方程;
(2)求函数的单调区间.
正确答案
(1);
(2)的递增区间是
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的几何意义得到切线方程以及函数的符号与函数单调性的关系的综合运用。
(1)因为,得到再x=0处的导数值,得到切线的斜率,点斜式得到直线的方程。
(2)根据导数得到单调增区间,
得到减区间。
解:……3分
(1)……7分
(2)令解得
令,解得
故的递增区间是
……12分
若函数在点
处的切线为
,则直线
与
轴的交点坐标为_________.
正确答案
试题分析:根据题意,由于函数,那么可知当x=2时可知导数值为
,且该点的函数值为
,则由点斜式方程可知方程为y-
=
(x-2)令x=0,得到y=
,故可知直线
与
轴的交点坐标为
。
点评:主要是考查了导数的求解切线方程的运用,属于基础题。
函数在区间
上的最大值是
正确答案
试题分析:根据题意,由于函数
,则其导数
恒成立,可知函数在给定区间
上单调递增,那么可知函数的最大值即为f(e)=
,故答案为
点评:解决的关键是利用导数的符号判定函数单调性,然后借助于单调性来求解最值。属于基础题。
若曲线在
处的切线与直线
互相垂直,则实数
等于
正确答案
2
解:因为
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