热门试卷

解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；

f′（x）=3x2﹣3x，f′（2）=6．

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为

y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；

（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．

令f′（x）=0，解得x=0或x=．

以下分两种情况讨论：

（1）若0＜a≤2，则；

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

当时，f（x）＞0，

等价于即．

解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；

（2）若a＞2，则当x变化时，

f′（x），f（x）的变化情况如下表

当时，f（x）＞0

等价于即

解不等式组得或．

因此2＜a＜5．

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5

解：（Ⅰ）设，

由，得点处切线方程为，

由y=0得。

（ Ⅱ），得，

所以，

于是

。

解：（1），则有，解得

（2）由（1）知，，

令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，

则g（1）=0，

（i）当，若，

则g '（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，

故上恒不成立．

（ii）时，若f（x）＞lnx，

故当x1时，f（x）lnx

综上所述，所求a的取值范围为

解：（Ⅰ）当a=-1时，，

所以，

因此f′（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，

又f（2）=ln2+2，

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x-y+ln2=0。

（Ⅱ）因为，

所以，

令，

①当a=0时，g（x）=-x+1，，

当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

②当时，由f′（x）=0即，解得，

此时，

所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；在上单调递减。

解：（1）设切点

由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，

故所求切线方程为

即

因为点在切线上

所以，，

所求切线方程为。

（2）设，

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设

因直线AC过焦点，

所以直线AC的方程为

点的坐标满足方程组

得，

由根与系数的关系知

因为，

所以BD的斜率为，

从而BD的方程为

同理可求得

当时，等号成立

所以，四边形面积的最小值为32。

解：，

(1)由题意可得f′(1)=2(1-a3)=0，解得a=1，

此时f(1)=4，在点(1，f(1))处的切线为y=4，与直线y=1平行，

故所求的a值为1；

(2)由f′(x)=0可得x=a，a＞0，

①当0＜a≤1时，f′(x)＞0在(1，2]上恒成立，

所以y=f(x)在[1，2]上递增，所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=2a3+2；

②当1＜a＜2时，

由上表可得y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)=3a2+1；

③当a≥2时，f′(x)＜0在[1，2)上恒成立，

所以y=f(x)在[1，2]上递减，所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=a3+5；

综上讨论，可知：

当0＜a≤1时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=2a3+2；

当1＜a＜2时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)=3a2+1；

当a≥2时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=a3+5。

解：（1）设

由得点处切线方程为

由y=0得；

（2）得

。

解：(1)当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)2(x-2)=x3-4x2+5x-2，

所以f′(x)=3x2-8x+5，

故f′(2)=1，

又f(2)=0，

所以曲线y=f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．

(2)因为f′(x)=3(x-a)(x-)，

由于a＜b，故a＜，

所以f(x)的两个极值点为x=a，x=，

不妨设x1=a，，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的一个零点，所以x3=b，

又因为，，

所以成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且。

解：(1)，

由得b=4，c=5，

所以。

(2)，

设恒成立，

∴g(x)=0必有两根，

∵f(x)在区间[0，2]上单调递减，

∴g(x)在[0，2]上值恒非正，

∴或，

解得，

故当时，f(x)在[0，2]上单调递减．