- 变化率与导数
- 共3697题
设,
为奇函数.
(1)求函数的零点;
(2)设, 若不等式
在区间
上恒成立, 求实数
的取值范围.
正确答案
解:由f(x)是奇函数,可得a=1,
所以,f(x)=
(1)F(x)=+
=
由=0,可得
=2,
所以,x=1,即F(x)的零点为x=1。
(2)f-1(x)=,在区间
上,
由恒成立,即
≤
恒成立,
即恒成立
即,
,
所以,
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间。
正确答案
解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以,
所以,
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,
知,
即f(-1)=1,f′(-1)=6,
所以,即
,解得b=c=-3,
故所求的解析式是。
(Ⅱ)因为,
令,
解得,
当;
当;
故在
内是增函数,在
内是减函数,在
内是增函数。
已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex在点P(0,f(0))处的切线方程为2x+y-1=0.
(1)求b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若方程f(x)=m恰有两个不等的实根,求m的取值范围.
正确答案
(1)f′(x)=[x2+(b+2)x+b+c]•ex
∵f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为2x+y-1=0.
∴⇔
⇔
(2)由(1)知:f(x)=(x2-3x+1)•ex,f′(x)=(x2-x-2)•ex=(x-2)(x+1)•ex
∴f(x)的单调递增区间是:(-∞,-1)和(2,+∞)f(x)的单调递减区间是:(-1,2)
(3)由(2)知:f(x)max=f(-1)=,f(x)min=f(2)=-e2
但当x→+∞时,f(x)→+∞;又当x<0时,f(x)>0,
则当且仅当m∈(-e2,0]∪{}时,方程f(x)=m恰有两个不等的实根.
已知函数f(x)=xex(e为自然对数的底).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
正确答案
f(x)=xex⇒f′(x)=ex(x+1)
(1)令f′(x)>0⇒x>-1,即函数f(x)的单调递增区间是(-1,+∞);(6分)
(2)因为f(1)=e,f′(1)=2e,(9分)
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0.(12分)
已知下列三个函数:①y=10;②y=x;③y=2x。
(1)求这三个函数在任一点x=x0处的切线方程;
(2)若这三个函数都是做直线运动的物体的路程y关于时间x的函数,试分别判断该物体的运动状态。
正确答案
解:分别对三个函数求导数得①y′=10′=0,②y′=x′=1,③y′=(2x)′=2,
(1)①∵,即点(x0,10)处的切线斜率为0,
∴在点x=x0处切线方程为y-10=0,即y=10,
②∵,且x=x0时y=x0,
∴在点x=x0处的切线方程为y-x0=x-x0,即y=x,
③∵,且x=x0时y=2x0,
∴在x=x0处切线方程为y-2x0=2(x-x0),
即y=2x;
(2)①y′=0,说明物体运动速度为0,因此该物体始终处于静止状态,
②y′=1,说明物体运动速度为1,因此该物体做匀速直线运动,
③y′=2,说明物体运动速度为2,因此该物体做匀速直线运动。
若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标。
正确答案
解:由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线与直线y=4x-5平行,
设P(x0,y0),
则,
由,得
故所求的点的坐标为。
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)。
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值;
(2)若x∈[-1,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,求k≥-1恒成立时a的取值范围。
正确答案
解:(1)由得x=0或x=2a/3
故2a/3=4,a=6
由于当x<0时,,当x>0时
故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1;
(2)等价于当x∈[0,1]时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切x∈[0,1]恒成立
即g(x)的最大值不大于零,由g(x)的图象知其最大值是端点值。由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切x∈[0,1]恒成立
所以a≥1。
已知函数+ln(x+1),其中实数a≠-1。
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,试讨论f(x)的单调性。
正确答案
解:(1)
当a=2时,
而
因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-
即7x-4y-2=0;
(2)因a≠-1,由(1)知
又因f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=0
即
解得a=-3
此时,其定义域为(-1,3)∪(3,+∞)且
由f'(x)=0得x1=1,x2=7
当-1<x<1或x>
设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2。
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积。
正确答案
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2,
∴a=1,b=2,
∴f(x)=x2+2x+c,
又方程f(x)=0有两个相等实根,
∴判别式Δ=4-4c=0,即c=1,
故f(x)=x2+2x+1。
(2)依题意,有所求面积S=。
设F是抛物线G:x2=4y的焦点。
(1)过点p(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程;
(2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点,且满足=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D求四边形ABCD面积的最小值。
正确答案
解:(Ⅰ)设切点Q,知抛物线在Q点处得切线斜率为
,故所求切线方程为
,即
,
因为点P(0,-4)在切线上,所以-4=-,
所以切线方程为y=±2x-4;
(Ⅱ)设,
由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0,
因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.,
点A,C的坐标满足方程组消去y,得x2-4kx-4=0,
由根与系数的关系知
,
因为,所以BD的斜率为
,从而BD的方程
同理可求得,
,
当k=1时,等号成立.所以,四边形ABCD面积的最小值为32。
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