热门试卷

解：（1）依题可设(a≠0)，

则，

又g′（x）的图像与直线y=2x平行，

∴2a=2，a=1，

∴，

设，

则

，

当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值，

当m＞0时，；

当m＜0时，；

（2）由，

得，（*）

当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）-kx有一零点；

当k≠1时，方程（*）有二解，

若，

函数y=f（x）-kx有两个零点；

若，

函数y=f（x）-kx有两个零点；

当k≠1时，方程（*）有一解，

函数y=f（x）-kx有一零点；

综上，当k=1时, 函数y=f（x）-kx有一零点；

当时，函数y=f（x）-kx有两个零点；

当时，函数y=f（x）-kx有一零点。

解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），

∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．

∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0

∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①，

还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，

得到﹣1+b﹣a+2=1②

由①、②联立得b=a=﹣3

故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．

令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0．

解得．

当；

当．

故f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）；单调减区间为（1﹣，1+）

解：由，可得．

（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为，得：

解得

（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x2+2x﹣a＞0…①

当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，不等式①在定义域内恒成立，

所以此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．

当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，不等式①的解为或，

又因为x≠﹣1，所以此时函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为和

所以，当a≤﹣1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）；

当a＞﹣1时，函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为和..

解：，

（1）当x=1时，，，

所以，切线过点（1，0），斜率为1，

故切线的方程为y=x-1。

（2）令，即lnx+1＞0，解得；

所以，函数f(x)=xlnx的单调递增区间为；

令，即lnx+1＜0，解得；

所以，函数f(x)=xlnx的单调递减区间为。

解：（I）a=1时,,        

于是f（0）=1,f′（0）=1,

所以函数f（x）的图象在点处的切线方程为y-1=-(x-0)

即x+y-1=0． 

（II）=，

∵，∴ 只需讨论的符号． 

i）当a＞2时，＞0，这时f′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ii）当a= 2时，≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数

iii）当0＜a＜2时，令f′（x）= 0，解得，．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数

（Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．

由（2）知在上是减函数，在上是增函数，

故当x∈（0，1）时，，所以

当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立

当a∈（1，2）时，，

设g（t）=(1-t)et,t∈(0,1)，则，

表明() 在（0，1）上单调递减，

于是可得g（t）∈(0,1)，即a∈（1，2）时恒成立，

因此，符合条件的实数a不存在. 

解：（1）∵

故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，

由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和

即

故，即。

（2）0＜x＜1时，

∴

曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为：

，即

∴切线与x轴、y轴正向的交点为和）

故所求三角形面积表达式为：

。

（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)=f(x)+g(x)=lnx+，函数的定义域为（0，+∞），

则F′(x)=-=

由F′(x)=-=＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，

F′(x)=-=＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；

（Ⅱ）由题意可知k=F′(x0)=≤对任意0＜x0≤3恒成立，

即有x0-≤a对任意0＜x0≤3恒成立，即(x0-)max≤a，

令t=x0-=-(-2x0)=-(x0-1)2+≤，

则a≥，即实数a的最小值为．

解：由题意得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a，

(Ⅰ)f′(1)=3+4-a=4，∴a=3。

(Ⅱ)解法一：（1）当g（-1）=-a-1=0，a=-1时，g(x)=f′(x)的零点；

（2）当g（-1）=7-a=0时，f′(x)的零点，不合题意；

（3）当g（1）g（-1）＜0时，-1＜a＜7；

（4）当时，∴；

综上所述，。

解法二：g(x)=f′(x)在区间（-1，1）上存在零点，等价于3x2+4x=a在区间（-1，1）上有解，

也等价于直线y=a与曲线y=3x2+4x，x∈（-1，1）有公共点，

作图可得。

另解：又等价于当时，求值域，

。

解：（Ⅰ）由题意，知f（0）=2，∴d=2，

∴，

由题意，得，

解得：b=-3，c=-3，

∴。

（Ⅱ）令，解得：，

∴f（x）在上单调递增，在上单调递减。