- 变化率与导数
- 共3697题
一质点的运动方程是s=5-3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（ ）
正确答案
解析
解：
故选D．
若f（x）是在（-l，l）内的可导奇函数，且f′（x）不恒为0，则f′（x）（ ）
正确答案
解析
证明：对任意
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）内的偶函数．
故选B．
求函数f（x）=
正确答案
解：x≤0时，函数f（x）=x2+2x在x=0附近的平均变化率
x＞0时，函数f（x）=x+1在x=0附近的平均变化率
解析
解：x≤0时，函数f（x）=x2+2x在x=0附近的平均变化率
x＞0时，函数f（x）=x+1在x=0附近的平均变化率
下列4组函数：①y=x2；②y=2x；③y=log2x；④y=2x那个函数增长速度最快______（填序号）
正确答案
②
解析
解：：①y=x2，y′=2x；②y=2x，y=′ln2.2x③y=log2x，y′=
从解析式上看x逐渐增大时，①也增大，但是变化的不快；②的导函数值，受2x的影响，变化最快；③慢慢变小；④不变．
故答案为：②
如图，函数的图象在P点处的切线方程是y=-x+8，若点P的横坐标是5，则f（5）+f′（5）=（ ）
A
B1
C2
D0
正确答案
解析
解：∵函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8，
∴f′（5）=-1，f（5）=-5+8=3，
∴f（5）+f′（5）=3-1=2，
故选：C．
已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．
正确答案
2+△x
解析
解：函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：
故答案为：2+△x．
若质点M按s=t3运动，则t=3s时瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵s=t3，∴v=s′=3t2，∴t=3s时瞬时速度v=3×32=27．
故选B．
已知函数f（x）=lnx-
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=lnx-
∴f′（x）=
∵曲线y=f（x）在点（
∴f′（
∴a=1
∴f′（x）=
∵x＞0且x≠1，∴f‘（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）
（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y-lnx0=
即y=
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，
∵g'（x）=ex，∴
∴x1=-lnx0．（8分）
∴直线l也为y-
即y=
由①②得lnx0-1=
∴lnx0=
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（1）可知，f（x）=lnx-
又f（e）=-
结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．
解析
解：（1）∵函数f（x）=lnx-
∴f′（x）=
∵曲线y=f（x）在点（
∴f′（
∴a=1
∴f′（x）=
∵x＞0且x≠1，∴f‘（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）
（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y-lnx0=
即y=
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，
∵g'（x）=ex，∴
∴x1=-lnx0．（8分）
∴直线l也为y-
即y=
由①②得lnx0-1=
∴lnx0=
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（1）可知，f（x）=lnx-
又f（e）=-
结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．
若函数
正确答案
[2，+∞）
解析
解：∵
由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x-a+
∴a=x+
故答案为：[2，+∞）
一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为0.3m3/s，则但其半径增至1.5m时，半径的增长率是______
正确答案
解析
解：对
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