- 变化率与导数
- 共3697题
抛物线y=x2+x-2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为______．
正确答案
（1，0）
解析
解：抛物线方程为f（x）=x2+x-2，得f‘（x）=2x+1
设点M（x0，y0），由导数的几何意义得
f'（x0）=2x0+1=3，解之得x0=1
∴y0=12+1-2=0，得点M（1，0）
故答案为：（1，0）
已知质点运动方程为S=t2-t+2（S的单位是m，t的单位是s），则该质点在t=2s时刻的瞬时速度为______．
正确答案
3m/s
解析
解：∵S=t2-t+2，∴s‘=2t-1
当t=2时，v=s'=3
故答案为3m/s．
曲线y=sinx在x=0处的切线的倾斜角是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：y′=cosx，
∴y′|x=0=cos0=1．
设此切线的倾斜角为α，
则tanα=1，
∵α∈[0，π），
∴
故选：D．
已知
正确答案
12
解析
解：根据
依题意r=2，所以m=
所以g‘（1）=10．
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为k=f′（1）=g′（1）+2=12
故答案为：12
已知函数
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．
正确答案
解：（I）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x0，y0）
又
由题意：
由②得x0=a（其中x0=-3a舍去）
代入到①中得
考虑到
∴
故
（II）设
∴F（x）在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x0）-g（x0）=0，
即f（x）≥g（x）
解析
解：（I）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x0，y0）
又
由题意：
由②得x0=a（其中x0=-3a舍去）
代入到①中得
考虑到
∴
故
（II）设
∴F（x）在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x0）-g（x0）=0，
即f（x）≥g（x）
已知曲线C的方程为y=xlnx，则C上点x=1处的切线的倾斜角为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵f′（x）=y′=lnx+1
∴f′（1）=1
C上点x=1处的切线斜率为1
设倾斜角为α则
tanα=1
∵0≤α≤π
∴
故选B
如图，函数y=f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）=（ ）
正确答案
解析
解：由图象可得：函数y=f（x）的图象在点P处的切线是l与x轴交与（4，0），与y轴交于（0，4），则可知
l：x+y=4，∴f（2）=2，f′（2）=-1
∴代入则可得f（2）+f′（2）=1，
故选：D．
正确答案
（
解析
解：由表格可得f（-3）=f（6）=1．
由导数图象可知当-3＜x＜0时，f‘（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．
若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则f（2a+b）＜f（6），
即
由题意知A（0，6），B（3，0），
所以AC的斜率为
所以则k=
故答案为：（
已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（ ）
Ae
B-e
C
D-
正确答案
解析
解：∵y=lnx，∴y‘=
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y-lnm=
它过原点，∴-lnm=-1，∴m=e，
∴k=
故选C．
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．
（Ⅰ） 求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f‘（x0）=g'（x0），（4分）
∵x≥0，得
解析
解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f‘（x0）=g'（x0），（4分）
∵x≥0，得
扫码查看完整答案与解析