- 变化率与导数
- 共3697题
物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s（t）=3t2+t．我们计算在t=2的附近区间[2，2+△t]内的平均速度
正确答案
13+3△t
13
解析
解：平均速度为 
当t=2时，v=s′|t=2=1+2×6=13，
故答案为13+3△t，13．
曲线f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为
A2
B3
C
D1
正确答案
解析
解：求导函数可得f′（x）=alnx+a-
∵函数f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为
∴f′（1）=1，
∴a-1=1，
∴a=2．
故选：A．
点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x0，y0）．
（1）求证：x0是x1与x2的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．
正确答案
解：（1）对x2=2y求导 得y‘=x，
所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即
同理，直线
所以x0是x1与x2的等差中项； （5分）
（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0．
∴
∴
∴
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原点O是△PAB的垂心； （（10分），只需证明两个垂直就得满分）
（3）设△PAB的重心G（x，y），则
因为k∈R，所以点G的轨迹方程为
解析
解：（1）对x2=2y求导 得y‘=x，
所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即
同理，直线
所以x0是x1与x2的等差中项； （5分）
（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0．
∴
∴
∴
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原点O是△PAB的垂心； （（10分），只需证明两个垂直就得满分）
（3）设△PAB的重心G（x，y），则
因为k∈R，所以点G的轨迹方程为
若曲线f（x）=ex+e-x的一条切线的斜率是
正确答案
ln2
解析
解：∵f（x）=ex+e-x，∴f′（x）=ex-e-x，
设切点的横坐标为x0，可得ex0-e-x0=
整理可得2（
解得
∴x0=ln2
故答案为：ln2
某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是______km/h．
正确答案
-1.6
解析
解：∵甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，当日12时30分时，甲船没有到达A处，故甲乙两船之间的距离函数是
∴
当日12时30分时，t=
此时两船之间距间对时间的变化率是
故答案为：-1.6 km/h．
酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是______．
正确答案
解析
由图知
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h‘=
又当h=4时，有t=
当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是
故答案为
已知函数f（x）=2x2-1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，f（1+△x）），则
正确答案
解析
解：∵△y=[2（1+△x）2-1]-1=2△x2+4△x，
∴
故选：B．
变速运动的物体的速度为v（t）=1-t2m/s（其中t为时间，单位：s），则它在前2s内所走过的路程为______m．
正确答案
2
解析
解：由v（t）=1-t2，得v0=1，v2=1-22=-3．
所以a=
因为速度为0时物体运动1s，位移为
所以物体在地2s内用1s的时间回到了原来的位置，
则物体在前2s内走过的路程为2m．
故答案为2．
已知函数y=x3-2，当x=2时，
正确答案
12+6△x+△2x
解析
解：由题意，
故答案为：12+6△x+△2x．
点P在曲线y=x3-x+
A[0，
B[0，
C[
D（
正确答案
解析
解：∵tanα=3x2-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，
当tanα∈[-1，0）时，α∈[
∴α∈[0，
故选B．
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