- 变化率与导数
- 共3697题
一物体做直线运动,其路程s与时间t的关系是s=3t2-2t+1,则此物体的初速度为( )
正确答案
解析
解:∵位移s与时间t的关系是s=s(t)=3t2-2t+1,
∴s′(t)=6t-2,
∴s′(0)=-2,
故物体的初速度-2,
故选:B.
已知函数f(x),当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数( )
正确答案
解析
解:当自变量由x0变化到x1时,自变量的“增量”为x1-x0,对应的函数值的“增量”为f(x1)-f(x0),
比值为函数在区间[x0,x1]上的平均变化率.
故选B.
设f(x)在x0处有导数,的值是( )
正确答案
解析
解:由题意,=
即
故选A.
若质点做直线运动,位移公式s(t)=3t3-2t2+t+1,则其在t=2s时的瞬时速度是( )
正确答案
解析
解:∵s(t)=3t3-2t2+t+1,,∴s‘(t)=9t2-4t+1
当t=2时,v=s'(2)=9×4-4×2+1=29
故选B.
已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.
(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)依题意,令f‘(x)=g'(x),得2x+b=1,
故.由于
,得(b+1)2=4c.
∵b>-1,c>0,∴.
(Ⅱ)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc.
F′(x)=3x2+4bx+b2+c.
令F'(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.
则△=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c).
若△=0,则F'(x)=0有一个实根x0,且F'(x)的变化如下:
于是x=x0不是函数F(x)的极值点.若△>0,
则F′(x)=0有两个不相等的实根x1,x2(x1<x2)且F′(x)的变化如下:
由此,x=x1是函数F(x)的极大值点,x=x2是函数F(x)的极小值点.
综上所述,当且仅当△=0时,函数F(x)在(-∞,+∞)上有极值点.
.
∵,∴
.
解之得0<c<7-4或c>7+4
.
故所求c的取值范围是(0,7-4)∪(7+4
,+∞).
解析
解:(Ⅰ)依题意,令f‘(x)=g'(x),得2x+b=1,
故.由于
,得(b+1)2=4c.
∵b>-1,c>0,∴.
(Ⅱ)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc.
F′(x)=3x2+4bx+b2+c.
令F'(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.
则△=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c).
若△=0,则F'(x)=0有一个实根x0,且F'(x)的变化如下:
于是x=x0不是函数F(x)的极值点.若△>0,
则F′(x)=0有两个不相等的实根x1,x2(x1<x2)且F′(x)的变化如下:
由此,x=x1是函数F(x)的极大值点,x=x2是函数F(x)的极小值点.
综上所述,当且仅当△=0时,函数F(x)在(-∞,+∞)上有极值点.
.
∵,∴
.
解之得0<c<7-4或c>7+4
.
故所求c的取值范围是(0,7-4)∪(7+4
,+∞).
(文)如果质点A的位移S与时间t满足方程S=2t3(位移单位:米,时间单位:秒),则质点在t=3时的瞬时速度为
______米/秒.
正确答案
54
解析
解:(文)∵S=2t3
∴S′=6t2,
∴点在t=3时的瞬时速度为6×32=54
故答案为:54
物体运动的位移s与时间t的关系为,则t=5时瞬时速度为( )
正确答案
解析
解:由,得s′=t3,
所以t=5时瞬时速度为:.
故选C.
动点沿ox轴的运动规律由x=10t+5t2给出,式中t表示时间(单位:s),x表示距离(单位:m),求在20≤t≤20+△t时间段内动点的平均速度,其中①△t=1; ②△t=O.1; ③△t=0.01当t=20时,运动的瞬时速度等于什么?
正确答案
解:由题意,=
=300+5△t.
①△t=1,运动的瞬时速度305m/s;
②△t=O.1,运动的瞬时速度300.5m/s;
③△t=0.01,运动的瞬时速度300.05m/s.
解析
解:由题意,=
=300+5△t.
①△t=1,运动的瞬时速度305m/s;
②△t=O.1,运动的瞬时速度300.5m/s;
③△t=0.01,运动的瞬时速度300.05m/s.
(2015秋•莆田校级月考)函数y=f(x)的图象如图所示,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1),f′(2),f(2)-f(1)的大小关系是( )
正确答案
解析
解:f(2)-f(1)=
,其几何意义表示过两点(1,f(1)),(2,f(2))割线的斜率,
而f′(1),f′(2)的几何意义分别为:点(1,f(1)),(2,f(2))处的切线斜率,
作出相应切线、割线如图所示:
由图象可知,f,
故f′(1)<f(2)-f(1)<f′(2),
故选D.
一物体的运动方程为s=t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度为( )
正确答案
解析
解:∵物体的运动方程为s=t+t2,
∴=s′=1+2t,
当t=3时,v==s′|t=3=1+2×3=7,
故选C.
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