- 变化率与导数
- 共3697题
如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α．（α为常数）
（1）高h与底面半径r有什么关系？
（2）传输带以0.3m3/min往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r=1.7m时的r对于时间t的变化率．
（参考数据：π取3.14，1.72=2.89，1.73≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15）
正确答案
（2）记tmin时煤堆的体积为V，
则V=
∴r=
②式两边对t求导，得r‘（t）=
（注：①式两边对t求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解）
设r=1.7m时对应的时刻为t0，由①得t0=
∴
代入③式得，
r'（t）=
=
解析
（2）记tmin时煤堆的体积为V，
则V=
∴r=
②式两边对t求导，得r‘（t）=
（注：①式两边对t求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解）
设r=1.7m时对应的时刻为t0，由①得t0=
∴
代入③式得，
r'（t）=
=
如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为
A
B
C
D
正确答案
解析
则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥
结合正切函数的图象
由图可得α∈
故选B．
利用微分理论，可得函数f（x）=x3+x-1在x=1点处，当自变量增加一个dx时，函数f（x）“大约”增加______个dx．
正确答案
4
解析
解：∵f（x）=x3+x-1，
∴f′（x）=3x2+1，
∴f′（1）=4，
∴在x=1点处，当自变量增加一个dx时，函数f（x）“大约”增加4个dx．
故答案为：4．
函数y=2esinx在点x=0处的瞬时变化率为（ ）
正确答案
解析
解：y′|x=0=2ecosx|x=0=2e
故选：C．
在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量△x应满足（ ）
正确答案
解析
解：由导数的定义，可得自变量x的增量△x可以是正数、负数，不可以是0．
故选：D．
已知三次函数f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）f‘（x）=3x2+2ax-6 …（1分）
由导数的几何意义，f'（1）=-6
∴a=-
∵f（0）=1∴b=1 …（3分）
∴f（x）=x3-
（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x1=-1，x2=2 …（5分）
当x∈（-2，-1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减．…（7分）
∴在区间（-2，2）内，函数f（x）的最大值为f（-1）=
∵f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥
∴2m-1≥
∴m≥
解析
解：（1）f‘（x）=3x2+2ax-6 …（1分）
由导数的几何意义，f'（1）=-6
∴a=-
∵f（0）=1∴b=1 …（3分）
∴f（x）=x3-
（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x1=-1，x2=2 …（5分）
当x∈（-2，-1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减．…（7分）
∴在区间（-2，2）内，函数f（x）的最大值为f（-1）=
∵f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥
∴2m-1≥
∴m≥
曲线f（x）=sinx的切线的倾斜角α的取值范围是______．
正确答案
[0，
解析
∵-1≤cosx≤1，
则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率-1≤k≤1，
又∵k=tanα，结合正切函数的图象
由图可得α∈[0，
故答案为：[0，
（2015秋•东台市校级月考）若点P在曲线
正确答案
解析
解：∵函数的导数y′=3x2-6x+3-
∴tanα≥-
∴0≤α＜
故答案为[0，
若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）
∴
∵x＞0，∴
∴实数a的取值范围是a＜0．
故选C．
函数y=
正确答案
0
解析
解：函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率即为f′（x），
而f′（x）=
∴函数y=
故答案为：0．
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