- 变化率与导数
- 共3697题
定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2；
②f（x）=x2-x+1；
③f（x）=ln（x+1）；
④f（x）=（x-
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为______．（写出所有满足条件的函数的序号）
正确答案
①④
解析
对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；
对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；
对于④，根据对称性，函数
故答案为：①④．
导函数的最大值是原函数的最小值．______（判断对错）
正确答案
错
解析
解：我们通常用导函数大于0，判断原函数单调增，导函数小于0，判断原函数单调减；
而导函数的最大值与原函数的最小值之间没有关系．
∴导函数的最大值是原函数的最小值，说法错误．
故答案为：错．
函数f（x）=|x|，在x=0处（ ）
正确答案
解析
解：当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，根据导数的定义可知函数f（x）=|x|，在x=0处导数不存在，
故选D．
（2015春•宝鸡校级月考）已知函数f（x）可导，且f′（1）=1，则
正确答案
解析
解：∵f′（1）=1，
则
故选：A．
已知函数f（x）是可导函数，且满足
正确答案
解析
解：∵函数f（x）是可导函数，且满足
∴
∴f′（1）=-1
∴在曲线y=f（x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是-1
故选A．
设f（x）是可导函数，且
A-4
B-1
C0
D
正确答案
解析
解：∵
∴f′（x0）=
故选A．
命题“若可导函数f（x）是奇函数，则f′（x）是偶函数”的否命题是（ ）
正确答案
解析
解：“若可导函数f（x）是奇函数，则f‘（x）是偶函数”的否命题是：
“若可导函数f（x）不是奇函数，则f'（x）不是偶函数”．
故选：D．
（2015春•宝鸡校级月考）已知函数f（x）可导，且f′（1）=1，则
正确答案
解析
解：∵f′（1）=1，
则
故选：A．
已知定义在实数集上的函数
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f2（x）=x2f2'（x）=2x
∴
∴（x1﹣x2）（2a﹣1）=0
∵x1≠x2，
∴
（Ⅱ）∵f1（x）=xf2（x）=x2f3（x）=x3，
∴g（x）=mx2+x﹣3lnx（x＞0）
∴g′（x）=
∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx2+x﹣3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=﹣
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
∵x∈[0，
∴①当﹣6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，
∴k=g′（x）在（0，
∴当x=
②当m＜﹣6时，由k′=0，得x=
而
若x∈
若x∈
故当x=
综上，kmax=
二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值．
正确答案
（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=
∴函数f（x）的解析式为f(x)=
（其它做法相应给分）
（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．
即
∴方程
即方程x2-2tx+t2-2t=0的两根为4和m．
∴
解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分）
扫码查看完整答案与解析