热门试卷

36，

由柯西不等式得

……4分

当且仅当时等号成立，此时

所以当时，取得最小值36…… 7分

略

证明略

∵ ∴① 又∵② ③

由①②③得 ∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.

见解析

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.

用数学归纳法证明。

试题分析：首先， ，              2分

。         4分

                6分

用归纳法证明 。

由于，即i=1成立。        8分

假设 成立，

则

。       14分

所以，。

归纳证明，

首先 ，假设 成立，

则

。                17分

故命题成立。

点评：难题，本题综合性较强，综合考查等差数列、等比数列的通项公式，数列不等式，数学归纳法等，在不等式的证明过程中，两次使用数学归纳法，一般来说较难想到。

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．

试题分析：（Ⅰ）构造函数，通过导函数可知函数在上是增函数，而，，故在上有唯一实根，即，然后利用函数的单调性，用反证法证明；（Ⅱ）先证，再由，可得．注意放缩法的技巧.

试题解析：（Ⅰ）设，则

显然，在上是增函数

在上有唯一实根，即                               4分

假设，

则

，矛盾，故                    8分

（Ⅱ）

      （）

，

                                           13分

方法二：

由（Ⅰ）=

（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ）， ．（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）求出,,,，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，以此类推可求出,；（Ⅱ）观察,,,可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出，

，，，，把这个式子叠加，即可得出的表达式；（Ⅲ）求证：()， 先求出的关系式，得，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即，这样既可证明．

试题解析：（Ⅰ）由题意有，，  ， ，

，．

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）知，，

即，所以，，，，          5分

将上面个式子相加，得：

                 6分

又，所以．                    7分

（Ⅲ），∴．  9分

当时，，原不等式成立．        10分

当时，，原不等式成立．   11分

当时，

， 原不等式成立．                 13分

综上所述，对于任意，原不等式成立．         14分

数学归纳法或用放缩再拆项相消法.

试题分析：（ⅰ）当n=1时，，，        2分

（ⅱ）假设当n=k时，                4分

则当n=k+1时，

要证：

只需证：

由于

所以              11分

于是对于一切的自然数，都有        12分

此题也可以用放缩再拆项相消法.

点评：中档题，本题解法较为灵活，可采用数学归纳法，也可以先放缩，再利用数列求和方法“裂项相消法”。总之，不等式证明中，“放缩”思想是常用的一中思想方法。

见解析。

本试题主要是考查了重要不等式和均值不等式的运用证明不等式的问题。

（1）直接运用综合法思想得到不等式的证明

（2）因为，然后两边开方得到结论，相加。

（I）∵ ，，

∴

∵

同理：，，

∴ ……………6分

（II） 

即，两边开平方得

同理可得

三式相加，得

…………..12分