热门试卷

证明略

证明：（1）正数a、b、c，、、亦为正数，所以由柯西不等式得

（++）（a+b+c）≥（++）="9 " -------3分

“=”成立当且仅当a="b=c          " -----------4分

即++≥                         ----------5分

（2）由（1）得

++≥ ==  (“=”成立当且仅当a="b=c)" ---7分

由均值不等式得≤=1a+b+c≤3     

(“=”成立当且仅当a="b=c)                   " -----------9分

0< 6+（a+b+c）≤9≥≥1

即++≥1 (“=”成立当且仅当a="b=c)" --------10分

证明略

(1)证法一:a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)

=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥

证法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2="1 " ∴a2+b2+c2≥

证法三: ∵∴a2+b2+c2≥

∴a2+b2+c2≥

证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.

∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2

=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2

=+α2+β2+γ2≥

∴a2+b2+c2≥

∴原不等式成立.

证法二：

∴≤＜6

∴原不等式成立.

略

略

见解析

因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

= ，

所以．

证明略。

证明：（Ⅰ）∵，，，

∴，           

∵，

∴，

∴.                                          

（Ⅱ）∵，                        

∴.          

证明略

∵上式显然成立，∴原不等式得证。

证明略

方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,

∴原不等式化为|-|＜|a-b|.

∵|-|≥0，|a-b|≥0，

∴要证|-|＜|a-b|成立,

只需证（-）2＜(a-b)2.

即证1+a2+1+b2-2＜a2-2ab+b2,

即证2+a2+b2-2＜a2-2ab+b2.

只需证2+2ab＜2，

即证1+ab＜.

当1+ab＜0时，∵＞0,

∴不等式1+ab＜成立.

从而原不等式成立.

当1+ab≥0时，要证1+ab＜,

只需证(1+ab)2＜（）2,

即证1+2ab+a2b2＜1+a2+b2+a2b2,即证2ab＜a2+b2.

∵a≠b,∴不等式2ab＜a2+b2成立.∴原不等式成立.

方法二 ∵|f（a）-f（b）|=|-|

==，

又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，

∴＜1.

∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

详见解析.

试题分析：作差，分解因式，配方，判断符号.

试题解析：作差得                     1分

                               4分

．                                          6分

因为，所以不同时为0，故，，

所以，即有．          10分