热门试卷

（1）证明：见解析；

（2）∵　对任何且，式子与同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有　．

证明：见解析。

(1)证明易采用作差比较，然后对差值分解因式，再判断每个因式的符号，从而确定差值符号.

（2）根据（1）先观察成立时应具体什么条件，然后再采用作差比较法进行证明.

（1）证明：左式－右式＝,

∵　　　，　

∴，

∴　　不等式成立．

（2）∵　对任何且，式子与同号，恒成立，

∴　上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有　．

证明：左式-右式

．

若，则由不等式成立；

若，则由不等式成立.

∴　综上得：　　若　且，，，

则有　成立．

注：（3）中结论为：若且，，

则有　也对．

略

本试题主要是考查了不等式的证明的运用。利用作差比较法是证明不等式的常用 最重要的方法之一，再结合平方差公式得到结论。

证明见解析

证明 ++=++

=3+++

≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c=时取等号.

分析法或综合法

试题分析：证法一（用分析法）：，    （2分）

要证，（4分）

只须证：，（6分）

即只须证：，（8分）

，成立，即成立，

∴原不等式成立。（10分）

证法二（用综合法）：∵（4分）

∵，，∴，（6分）

∴，（8分）

∴，

∴，原不等式成立。（10分）

点评：中档题，不等式的证明方法，通常考虑“差比法”“分析法”“综合法”“反证法”“放缩法”“换元法”“数学归纳法”等。当题目的条件较少时，利用“分析法”往往通过“执果索因”，可以探求得到，证明的途径。

同解析。

∵

--6分

　又 

∴

故       

见解析。

本试题主要是考查了不等式的证明。因为，所以，由柯西不等式，

得，从而得到证明。

因为，所以．…………………4分

由柯西不等式，

得，

则，……………………………………………………8分

当且仅当时取等号，此时.……10分

同解析

，且，

∴，

即．

只需证明

试题分析：证明 ： ，且，

，  故成立

点评：作差法常应用于比较两数的大小和证明不等式。

见解析

解法一：假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，

则（1－a）b·（1－b）c·（1－c）a＞ 

∵0＜a＜1，

∴a＞0，1－a＞0。

∴0＜a(1－a)≤[]2= 

同理0＜b(1－b)≤，0＜c(1－c)≤，

三式相乘得：0＜(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a≤ ②

①与②矛盾，故假设不成立

∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一个不大于

解法二：假设：假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于，

∵0＜a＜1，0＜b＜1，

∴（1－a）+b≥＞=1

同理（1－b）+c＞1，（1－c）+a＞1

三式相加得：（1－a）+b+（1－b）+c+（1－c）+a＞3

即3＞3，不等式不成立，故假设不成立。