热门试卷

证明：∵{an}是等差数列，∴an+k=an+kd．    （2分）

要证+＜+，

只要证+＜+，

只要证an+d+2+an+4d＜an+2d+2+an+3d，

∵an＞0，∴只要证（an+d）（an+4d）＜（an+2d）（an+3d）（2分）

只要证an2+5dan+4d2＜an2+5dan+6d2，只要证d2＞0．    （2分）

∵已知d≠0，∴d2＞0成立，故+＜+．    （2分）

证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），（2分）

即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ，（4分）

即证：2abcd≤a2d2+b2c2 ，（6分）

即证：0≤a2d2+b2c2-2abcd=（ad+bc）2，（8分）

上式明显成立．（10分）  故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）（12分）

解法2 （综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式）（3分）

所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd（6分）≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2（9分）=（a2+b2）（c2+d2）（12分）

解法3 （作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+b2d2+2abcd）（5分）

=b2c2+a2d2-2abcd（8分）=（b2c2-a2d2）2≥0（10分）

所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． （12分）

（1）证明：∵a，b∈R，且 2（a2+b2）-（a+b）2 =a2+b2 -2ab=（a-b）2≥0，

∴2（a2+b2）≥（a+b）2 成立．

（2）证明：要证+＞2+，只要证 13+2＞13+4，即证 ＞2，

即证 42＞40．

而42＞40显然成立，故+＞2+ 成立．

证明：因为x，y均为正实数，

所以x+y ≥ 2，+ ≥ 2，当且仅当x=y时等号成立（下同）．  …（6分）

从而(x+y)(+ ) ≥ 2•2=4，…（8分）

所以+ ≥ ．                  …（10分）

证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，

∴a（b2+c2）≥2abc             ①…（5分）

同理 b（c2+a2）≥2abc          ②

c（a2+b2）≥2abc               ③…（9分）

因为a，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，

从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴三式相加可得：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc…（14分）

证明：假设x2+2x-1=0，则x=-1±，

要证：-1+＜，只需证：＜，只需证：2＜

上式显然成立，故有-1+＜．而-1-＜，

综上，-1+＜，-1-＜，都与已知x＞相矛盾，

因此假设不成立，也即原命题成立．

证明：∵x＞0，y＞0．∴要证(x2+y2)12＞(x3+y3)13．

只要证（x2+y2）3＞（x3+y3）2（4分）

即证3x2+3y2＞2xy（*）

∵3x2+3y2-2xy=2（x2+y2）+（x-y）2＞0

∴（*）成立．故原不等式成立．（9分）

证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 a3+b3+c3≥，

只要证   3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0，

只要证   2（a3+b3+c3 ）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，

只要证   2（a3+b3+c3 ）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，

只要证   a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，

只要证   a2 （a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，

只要证   （a-b）（a2-b2）+（b-c） （b2-c2）+（c-a）（c2-a2）≥0，

只要证   （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0，

而由题意可知  （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0  成立，故要证的不等式成立．

证明：（分析法）

要证：-＞2-

只需：+＞2+成立，…（3分）

根据不等式两边都大于0，

即证：(

6

+

7

)2＞(2

2

+

5

)2…（5分）

只需证：13+2＞13+2

即证：42＞40     …（8分）

∵42＞40显然成立，

∴-＞2-证毕． …（10分）