- 比较法
- 共468题
已知,
.(n∈N*,a为常数)
(1)若,求证:数列
是等比数列;
(2)在(1)条件下,求证:;
(3)若a=0,试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间?并加以证明.
正确答案
证明:(1)∵,
∴
∵,∴
,
∴
∴数列是以
为首项,以2为公比的等比数列
(2)由(1)知,化简得
∵,
∴要证,只需证2n≥2n,
当n=1或2时,有2n=n,
当n≥3时,,
∴2n≥2n对n∈N*都成立,
∴
(3)当a=0时,
∴,即
,∴
=
又,
∵,
∴{xn}单调递增,
∴,
∴的值在2与3之间
已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,证明:
.
正确答案
(1)解:由题意a>0,f ′(x)=ex﹣a,
由f′(x)=ex﹣a=0得x=lna.
当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,
其最小值为f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1.
(2)解:f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.
由(1),设g(a)=a﹣alna﹣1,所以g(a)≥0.
由g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0 得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)≥0的解为a=1,
∴a=1.
(3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex﹣x﹣1≥0,即1+x≤ex.
令 (n∈N*,k=0,1,2,3,…,n﹣1),则 .
∴.
∴
=.
已知函数的图象为曲线C,函数
的图象为直线l.
(Ⅰ) 设m>0,当x∈(m,+∞)时,证明:
(Ⅱ) 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x2)g(x1+x2)>2.
正确答案
证明:(1)令H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m),x∈(m,+∞),
则H(m)=0,
要证明(x+m)ln﹣2(x﹣m)>0,
只需证H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m)>H(m),
∵H′(x)=ln+
﹣1,
令G(x)=ln+
﹣1,G′(x)=
﹣
,
由G′(x)=>0得,x>m,
∴G(x)在x∈(m,+∞)单调递增,
∴G(x)>G(m)=0
H'(x)>0,H(x)在x∈(m,+∞)单调递增.
H(x)>H(m)=0,
∴H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m)>0,
(2)不妨设0<x1<x2,
要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,
只需证(x1+x2)[a(x1+x2)+b]>2,
只需证(x1+x2)[a
+bx2﹣(
a
+bx1)]>2(x2﹣x1),
∵=
ax1+b,
=
ax2+b,
即(x1+x2)ln>2(x2﹣x1)(*),
而由(1)知(*)成立.
所以(x1+x2)g(x1+x2)>2
用分析法证明:若a>0,则-
≥a+
-2.
正确答案
证明:∵a>0,要证-
≥a+
-2,只要证
+2 ≥ a+
+
,
只要证 a2++4
+4≥a2+
+2
(a+
)+4,
即证 2 ≥
(a+
).
只要证4( a2+)≥2(a2+
+2),即证a2+
≥2.
由基本不等式可得 a2+≥2 成立,故原不等式成立.
设函数R),函数f(x)的导数记为f'(x).
(1)若a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的条件下,记,
求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*);
(3)设关于x的方程f'(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.
试问:是否存在正整数n0,使得?说明理由.
正确答案
解:(1)f'(x)=x2+ax+b,由已知可得a=﹣1,b=c=﹣3
(2),
当n=1时,;
当n=2时,;
当n≥3时,.
所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<F(1)+F(2)+…+
=
(1+
+
﹣
﹣
﹣
)<
(1+
+
)=
,
所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*)
(3)根据题设,可令f'(x)=(x﹣α)(x﹣β).
∴f'(1)f'(2)=(1﹣α)(1﹣β)(2﹣α)(2﹣β)=,
∴,或
,
所以存在n0=1或2,使
已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(+
)≥4.
正确答案
(a+b)(+
)=
+
+2
∵a、b∈(0,+∞),
∴、
均为正数,可得
+
≥2
=2
因此,(a+b)(+
)=
+
+2≥2+2=4
即(a+b)(+
)≥4
当且仅当a=b时,等号成立.
已知x,y,z∈R+,求证:
(1)(x+y+z)3≥27xyz;
(2)(+
+
)(
+
+
)≥9;
(3)(x+y+z)(x2+y2+z2)≥9xyz.
正确答案
证明:(1)∵x,y,z∈R+,∴x+y+z≥3,当且仅当x=y=z时,取等号,∴(x+y+z)3≥27xyz;
(2)∵x,y,z∈R+,∴+
+
≥3
=3,
+
+
≥3
=3,当且仅当x=y=z时,取等号,
∴两式相乘,可得(+
+
)(
+
+
)≥9;
(3))∵x,y,z∈R+,∴x+y+z≥3,x2+y2+z2≥3
,当且仅当x=y=z时,取等号,
∴两式相乘可得(x+y+z)(x2+y2+z2)≥9xyz.
已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:.
正确答案
证明:要证原不等式成立,只需证(a+b+c)2≥3,
即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,
又ab+bc+ca=1.
所以,只需证:a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2﹣1≥0,
因为ab+bc+ca=1.所以,只需证:a2+b2+c2﹣(ab+bc+ca)≥0,
只需证:2a2+2b2+2c2﹣2(ab+bc+ca)≥0,
即(a﹣b)2+(b﹣c)2 +(c﹣a)2 ≥0,
而(a﹣b)2 +(b﹣c)2+(c﹣a)2 ≥0显然成立.
(1)若a≥1,用分析法证明;
(2)已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(2a+b)(b+1)≥9。
正确答案
解:(1)因为
所以,要证
只需证明
即证
只需证明
即
此不等式显然成立,于是;
(2)因a,b都是正实数,
所以
当且仅当b=2a,即a=1,b=2时等号成立
。
求证:。
正确答案
证明:∵,
要证
只需证
即证
即证
即证14 <18,
∵14<18显然成立,
∴。
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