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题型:简答题
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简答题

已知.(n∈N*,a为常数)

(1)若,求证:数列是等比数列;

(2)在(1)条件下,求证:

(3)若a=0,试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间?并加以证明.

正确答案

证明:(1)∵

,∴

∴数列是以为首项,以2为公比的等比数列

(2)由(1)知,化简得

∴要证,只需证2n≥2n,

当n=1或2时,有2n=n,

当n≥3时,

∴2n≥2n对n∈N*都成立,

(3)当a=0时,

,即 ,∴=

∴{xn}单调递增,

的值在2与3之间

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简答题

已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的最小值;

(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;

(3)在(2)的条件下,证明:

正确答案

(1)解:由题意a>0,f ′(x)=ex﹣a,

由f′(x)=ex﹣a=0得x=lna.

当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;

当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.

∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.

即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,

其最小值为f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1.

(2)解:f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.

由(1),设g(a)=a﹣alna﹣1,所以g(a)≥0.

由g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0  得a=1.

∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,

∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.

因此g(a)≥0的解为a=1,

∴a=1.

(3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex﹣x﹣1≥0,即1+x≤ex

令 (n∈N*,k=0,1,2,3,…,n﹣1),则

=

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题型:简答题
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简答题

已知函数的图象为曲线C,函数的图象为直线l.

(Ⅰ) 设m>0,当x∈(m,+∞)时,证明:

(Ⅱ) 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x2)g(x1+x2)>2.

正确答案

证明:(1)令H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m),x∈(m,+∞),

则H(m)=0,

要证明(x+m)ln﹣2(x﹣m)>0,

只需证H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m)>H(m),

∵H′(x)=ln+﹣1,

令G(x)=ln+﹣1,G′(x)=

由G′(x)=>0得,x>m,

∴G(x)在x∈(m,+∞)单调递增,

∴G(x)>G(m)=0

H'(x)>0,H(x)在x∈(m,+∞)单调递增.

H(x)>H(m)=0,

∴H(x)=(x+m)ln﹣2(x﹣m)>0,

(2)不妨设0<x1<x2

要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,

只需证(x1+x2)[a(x1+x2)+b]>2,

只需证(x1+x2)[a+bx2﹣(a+bx1)]>2(x2﹣x1),

=ax1+b,=ax2+b,

即(x1+x2)ln>2(x2﹣x1)(*),

而由(1)知(*)成立.

所以(x1+x2)g(x1+x2)>2

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简答题

用分析法证明:若a>0,则-≥a+-2.

正确答案

证明:∵a>0,要证-≥a+-2,只要证 +2 ≥ a++

只要证 a2++4+4≥a2++2(a+)+4,

即证 2 (a+).

只要证4( a2+)≥2(a2++2),即证a2+≥2.

由基本不等式可得 a2+≥2 成立,故原不等式成立.

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简答题

设函数R),函数f(x)的导数记为f'(x).

(1)若a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),求a、b、c的值;

(2)在(1)的条件下,记

求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*);

(3)设关于x的方程f'(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.

试问:是否存在正整数n0,使得?说明理由.

正确答案

解:(1)f'(x)=x2+ax+b,由已知可得a=﹣1,b=c=﹣3

(2)

当n=1时,

当n=2时,

当n≥3时,

所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<F(1)+F(2)+…+=(1++ )< (1++ )=

所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*)

(3)根据题设,可令f'(x)=(x﹣α)(x﹣β).

∴f'(1)f'(2)=(1﹣α)(1﹣β)(2﹣α)(2﹣β)=

,或

所以存在n0=1或2,使

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简答题

已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(+)≥4.

正确答案

(a+b)(+)=++2

∵a、b∈(0,+∞),

均为正数,可得+≥2=2

因此,(a+b)(+)=++2≥2+2=4

即(a+b)(+)≥4

当且仅当a=b时,等号成立.

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简答题

已知x,y,z∈R+,求证:

(1)(x+y+z)3≥27xyz;  

(2)(++)(++)≥9;  

(3)(x+y+z)(x2+y2+z2)≥9xyz.

正确答案

证明:(1)∵x,y,z∈R+,∴x+y+z≥3,当且仅当x=y=z时,取等号,∴(x+y+z)3≥27xyz;  

(2)∵x,y,z∈R+,∴++≥3=3,++≥3=3,当且仅当x=y=z时,取等号,

∴两式相乘,可得(++)(++)≥9;

(3))∵x,y,z∈R+,∴x+y+z≥3,x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z时,取等号,

∴两式相乘可得(x+y+z)(x2+y2+z2)≥9xyz.

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简答题

已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:

正确答案

证明:要证原不等式成立,只需证(a+b+c)2≥3,

即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,

又ab+bc+ca=1.

所以,只需证:a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2﹣1≥0,

因为ab+bc+ca=1.所以,只需证:a2+b2+c2﹣(ab+bc+ca)≥0,

只需证:2a2+2b2+2c2﹣2(ab+bc+ca)≥0,

即(a﹣b)2+(b﹣c)2 +(c﹣a)2 ≥0,

而(a﹣b)2 +(b﹣c)2+(c﹣a)2 ≥0显然成立.

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简答题

(1)若a≥1,用分析法证明

(2)已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(2a+b)(b+1)≥9。

正确答案

解:(1)因为

所以,要证

只需证明

即证

只需证明

此不等式显然成立,于是

(2)因a,b都是正实数,

所以

当且仅当b=2a,即a=1,b=2时等号成立

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简答题

求证:

正确答案

证明:∵

要证

只需证

即证

即证

即证14 <18,

∵14<18显然成立,

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