复合函数的单调性
共281题

· 复合函数的单调性

复合函数的单调性
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题型：填空题

填空题 · 5 分

调查某电脑公司的三名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=，若该电脑公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额为　_________　万元。

正确答案

解析

由条件可知，代入回归方程，可得，所以，当时，，故填3.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数为自然对数的底数）。

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）若点是三个不同的点，判断三点是否可以构成直角三角形？请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），，又，所以曲线在

处的切线方程为，即。

（2）（ⅰ）对于，定义域为。
          当时，，，∴；
         当时，；当时，，，
        ∴
       所以存在唯一的极值点，∴，则点为

（ⅱ）若，则，与条件不符，

从而得，同理可得。
若，则，与条件不符，从而得。

由上可得点，，两两不重合。

从而，点，，可构成直角三角形。

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为

正确答案

解析

甲、乙、丙、丁四人站成一排有如下24种情形：

甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丙乙丁、甲丙丁乙、甲丁乙丙、甲丁丙乙、

乙甲丙丁、乙甲丁丙、乙丙甲丁、乙丁甲丙、乙丁丙甲、乙丙丁甲、

丙甲乙丁、丙甲丁乙、丙乙甲丁、丙乙丁甲、丙乙丁甲、丙丁乙甲、

丁甲乙丙、丁甲丙乙、丁乙甲丙、丁乙丙甲、丁丙甲乙、丁丙乙甲.

其中甲、乙都不在两边有如下4种情形：

丙甲乙丁、丙乙甲丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙.

因此所求概率为. 故选B.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.

（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，

正确答案

见解析

解析

（1）∵

由已知 ∴ 得

∴

当为增函数；当时，，为减函数。

∴是函数的极大值点

又在上存在极值

∴ 即

故实数的取值范围是

（2）

即为

令，则

再令则

∵ ∴ ∴ 在上是增函数

∴ ∴

∴在上是增函数

∴时，故

令，则

∵ ∴ ∴ 即上是减函数

∴时，

所以，即

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，

即取最大值，且.

由得

又为定值，，

综上得；

又由，可得，即，

经计算得，，，

故椭圆方程为. (5分)

（2）①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.

②当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，

由消去可得，

代入弦长公式得：，

同理由消去可得，

代入弦长公式得：，

所以

令，则，所以，

由①②可知，的取值范围是. (12分)

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}且R为实数集，则下列结论正确的是（　　）

AA∪B=R

BA∩B≠∅

CA⊆（∁RB）

DA⊇（∁RB）

正确答案

解析

集合A={x∈R||x|≥2}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x∈R|﹣1＜x＜2}。

所以A∪B={x∈R|x＞﹣1或x≤﹣2}，所以A错误。

所以A∩B=∅，所以B错误。

∁RB={x∈R|x≥2或x≤﹣1}，所以A⊆（∁RB），所以C正确，D错误。

故选C。

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

等差数列中，

（1）求的通项公式；

（2）设=，求数列的前项和

正确答案

见解析

解析

（1）设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.

因为所以 …… 2分

解得a1=1,d=. …… 4分

所以{an}的通项公式为an=. …… 6分

（2）因为bn===-, …… 8分

所以Sn=(-)+(-)+…+(-)=. …… 12分

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于

正确答案

解析

由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径，且四棱锥的高，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是，进而球的体积. 故选B.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（不与重合），则直线是否恒过一定点？如果是，求出这个定点的坐标；如果不是，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意可得，解得.

所以椭圆的方程是. (4分)

（2）由消去得，即.

设，，则且，，

经过点的直线方程为.

令，则.

又，所以当时，

这说明直线与轴交于定点. (12分)

知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

填空题 · 5 分

给出下列5种说法：

①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数是用来刻画回归效果的，的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好。

其中说法正确的是

正确答案

②④⑤

解析

由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.

知识点

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