复合函数的单调性
共281题

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复合函数的单调性
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题型：简答题

简答题 · 13 分

某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格，某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示。

（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率。

正确答案

（1）6

（2）

解析

（1）由题意可知，

参加社区服务在时间段的学生人数为（人），

参加社区服务在时间段的学生人数为（人）。

所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）。

………5分

（2）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件。

由（1）可知，

参加社区服务在时间段的学生有4人，记为；

参加社区服务在时间段的学生有2人，记为。

从这6人中任意选取2人有

共15种情况。

事件包括共7种情况。

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率，………13分

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知正项数列中，其前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求证：；

（3）设为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数，不等式都成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）法一：由得

当时，，且，故

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴

∴是首项为，公差为的等差数列.

∴ ，

∴ .

法二：

当时，，且，故

由得，

当时，

∴ ，整理得

∵正项数列，，

∴ ，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴ .

（2）

∴

∴两式相减得

∵ ，∴

∵ ∴

∴

（3）∵ 不等正整数是等差数列，

∴ ，

又，

∴

故实数的取值范围为.

知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

填空题 · 5 分

定义在上的函数满足，则。

正确答案

解析

略

知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于。

正确答案

（或）

解析

略

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数（,）。

（1）当时，求曲线在点处切线的方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，恒成立，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）时，函数的单调增区间为；单调减区间为，。时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为

（3）

解析

（1）,。

当时，。

依题意，即在处切线的斜率为。

把代入中，得。

则曲线在处切线的方程为， …………………，4分

（2）函数的定义域为。

。

（1）若，

当，即时，函数为增函数；

当，即和时，函数为减函数。

（2）若，

当，即和时，函数为增函数；

当，即时，函数为减函数。

综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，。

时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为。

…………………，9分

（3）当时，要使恒成立，即使在时恒成立，设，则，可知在时，，为增函数；

时，，为减函数，则，从而。

另解：（1）当时，，所以不恒成立。

（2）当且时，由（1）知，函数的单调增区间为，单调减区间为，所以函数的最小值为，依题意，

解得。

综上所述，， …………………，13分

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