· 函数的基本性质

· 复合函数的单调性

复合函数的单调性
共281题

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1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率为,则此双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意得,故双曲线方程为,选D

知识点

复合函数的单调性

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆：，以椭圆短轴的一个顶点与两个焦点为顶点的三角形周长是，且。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点引曲线C的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在的直线方程。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1），，

求得

所以椭圆方程为。

（2）当斜率不存在时，检验得不符合要求；

当直线的斜率为时，；代入得，化简得

所以，解得。

检验得（或说明点在椭圆内）

所以直线，即。

知识点

复合函数的单调性

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

设函数

（1）求函数和的解析式，并指出它们的单调递增区间

（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

（3）定义，且，

① 当时，求的解析式.

已知下面正确的命题：

当时，都有恒成立.

② 若方程恰有15个不同的实数根，确定的取值；并求这15个不同的实数根根的和.

正确答案

见解析

解析

解析：函数单调递增区间

函数单调递增区间

（2）解：，

则必须，即此时恒成立

（3）解：① 当时，对于任意的正整数，

都有，故有

② 由①可知时有，根据命题的结论可得

当时，

故有

因此同理归纳得到，当时，

时，解方程得，

要使方程在上恰有15个不同的实数根，

则必须解得

方程的根

这15个不同的实数根根的和.

知识点

复合函数的单调性

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_______。

正确答案

9

解析

先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示，易知直线与的交点为，观察图形可知目标函数在点处取得最小值，即，解得。

知识点

复合函数的单调性

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

对于函数

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

解：（1）函数f (x)的定义域是R

证明：设x1 < x2 ；

f (x1) – f (x2) = a( a)=

当 x1<x2 得 < 0

得f (x1) – f (x2) < 0所以f (x1) < f (x2)

故此时函数f (x)在R上是单调增函数；

当x1<x2 得 0

得f (x1) – f (x2) 0所以f (x1) f (x2)

故此时函数f (x)在R上是单调减函数

（2） f (x)的定义域是R，

由，求得.

当时，，，

满足条件，故时函数f (x)为奇函数

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