热门试卷

函数，求导得。

（1）当，时，，

若，则恒成立，所以在上单调减；

若，则，令，解得或（舍），

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增。

所以函数的单调减区间是，单调增区间是，

（2）当，时，，而，所以

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增。

所以函数在上的最小值为，

所以恒成立，解得或，

又由，得，所以实数的取值范围是，

（3）由知，，而，则，

若，则，所以，

解得，不符合题意；

故，则，

整理得，，由得，，

令，则，，所以，

设，则，

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增。

所以，函数的最小值为，故实数的最小值为。

（1）设两车距离为，则

   （3分）

，∴当时，

即两车的最近距离是千米；                             （7分）

（2）当两车相距最近时，，            （3分）

此时千米/小时.                                      （5分）

即当车速千米/小时，两车相距最近所用时间最大，最大值是小时.（7分）

（1）原不等式等价于，即  -------------------2分

由题意得，解集为的一个不等式   -------------------4分

解得，  -------------------6分

（2）由题意得：  -------------------8分

    -------------------10分

（1）当a＝2，b＝1时，，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)。

所以。

令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4。

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，

当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex。

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立。

记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则。

当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；

当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数。

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1。

所以b的最大值为－1－e－1。

解法二：因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－-2a)ex，

当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex。

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以g(2)＝＞0，因此b＜0。

。

因为b＜0，所以：当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是减函数；

当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函数。

所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以(－1－b)e－1≥1，解得b≤－1－e－1

因此b的最大值为－1－e－1。

②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex。

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0。

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，

等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立。

因为a＞0，所以＝。

设（x＞1），则。

因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）。         

解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex。

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0。

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，

等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立。     

设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)

u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b

当b≤0时，u′(x) ≥0

此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b

因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立

所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0     

当b＞0时，

令，得u(x0)＝b＞0，

又u(1)＝－a－b＜0

于是u(x)＝0，在(1，x0)上必有零点

即存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，此时＞0 

综上有的取值范围为（－1，＋∞）。