热门试卷

（1）依题意得，解得a=1.

所以，

故双曲线C的方程为.

（2）设，则有 。

两式相减得： ，

由题意得，，，

所以，即.

故直线AB的方程为.

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

由得：A（-1，0），B（3，4）.

由（1）得直线CD方程：，

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），

所以CD的中点M（-3，6）.

因为，，

，，

所以，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.

∵已知矩阵M=的一个特征值是3，∴f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，即 （3﹣2）（3﹣a）﹣1=0，

解得a=2，∴M=。

设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′y′，），

则有  ，整理得，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理得4x'﹣5y'﹣9=0，

故所求直线方程为：4x﹣5y﹣9=0。

（1）（法一）点在抛物线上， 。

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由 得，

，

由，得，则直线方程为。

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）。

直线的方程为，抛物线的方程为。

（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为。……2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得。

因此，直线的方程为，抛物线的方程为。

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由  得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

.

由 得，，

，

。

因此，存在实数，使得成立，且。

（1）①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当=1时，由题意得，a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在，设，由得，

，由直线与抛物线有两个交点，可知.

设，由韦达定理得，

则=            

因为的周长为，所以，          

解得，从而可得直线的方程为        

（2）假设存在满足条件的实数，由题意得，又设，设，对于抛物线M，有对于椭圆C，由得   

由解得：，所以，从而，因此，的边长分别为、、，

当时，使得的边长为连续的自然数.     

（1）抛物线的焦点为，它是题设椭圆的左焦点.离心率为，

所以，.由求得.

因此，所求椭圆的方程为  （*）

（2）椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为，

①  若，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线

的方程为；

②  若，因直线过点，故可设其方程为，将其代入

消去，得.因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式，于是，从而直线的方程为或.因此，所求的直线的方程为或或.

可求出点的坐标是或或.

①若点的坐标是，则.于是=，从而，代入（*）式联立：

或，求得，此时满足条件的点有4个:

.

②若点的坐标是，则，点M到直线：的距离是，

于是有，从而，

与（*）式联立：或解之，可求出满足条件的点有4个:，，，.

③  若点的坐标是，则，点到直线:的距离是，于是有，从而，

与（*）式联立：或，解之，可求出满足条件的点有4个:  ，,,.

综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。

解析：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组

，即，则在坐标平面

内，点对应的区域如图阴影部分所示

易得图中三点的坐标分别为（4分）

（1）令，则直线经过点时

取得最小值，经过点时取得最大值，即，

又三点的值没有取到，所以（8分）

（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知

可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即（12分）

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