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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设双曲线C:(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(,0),离心率, A、B是双曲线上的两点,AB的中点M(1,2)。

(1)求双曲线C的方程;

(2)求直线AB方程;

(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意得,解得a=1.

所以

故双曲线C的方程为.

(2)设,则有 。

两式相减得: ,

由题意得

所以,即.

故直线AB的方程为.

(3)假设A、B、C、D四点共圆,且圆心为P. 因为AB为圆P的弦,所以圆心P在AB垂直平分线CD上;又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

得:A(-1,0),B(3,4).

由(1)得直线CD方程:

得:C(-3+,6-),D(-3-,6+),

所以CD的中点M(-3,6).

因为

所以

即 A、B、C、D四点在以点M(-3,6)为圆心,为半径的圆上.

知识点

直线的一般式方程双曲线的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”,已知函数和函数,那么函数和函数的隔离直线方程为_________。

正确答案

解析

有题可知函数与函数有公共点,由隔离直线的定义可知只有二者的公切线才能满足,,可知,可知直线方程为,故答案为

知识点

函数恒成立问题直线的两点式方程直线的一般式方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图7,直线,抛物线,已知点在抛

物线上,且抛物线上的点到直线的距离的最小值为

(1)求直线及抛物线的方程;

(2)过点的任一直线(不经过点)与抛物线交于两点,直线与直线相交于点,记直线的斜率分别为,问:是否存在实数,使得?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)(法一)在抛物线上,

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为

 得

,得,则直线方程为

两直线间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离,

,解得(舍去)。

直线的方程为,抛物线的方程为

(法二)在抛物线上, ,抛物线的方程为。……2分

为抛物线上的任意一点,点到直线的距离为,根据图象,有

的最小值为,由,解得

因此,直线的方程为,抛物线的方程为

(2)直线的斜率存在,设直线的方程为,即

  得

设点的坐标分别为,则

.

 得

因此,存在实数,使得成立,且

知识点

直线的一般式方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为,抛物线的准线与轴交于,椭圆与抛物线的一个交点为.

(1)当时, ①求椭圆的方程;②直线过焦点,与抛物线交于两点,若弦长等于的周长,求直线的方程;

(2)是否存在实数,使得的边长为连续的自然数.

正确答案

(1)(2)

解析

(1)①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,

=1时,由题意得,a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在,设,由得,

,由直线与抛物线有两个交点,可知.

,由韦达定理得

=            

因为的周长为,所以,          

解得,从而可得直线的方程为        

(2)假设存在满足条件的实数,由题意得,又设,设,对于抛物线M,有对于椭圆C,由   

解得:,所以,从而,因此,的边长分别为

时,使得的边长为连续的自然数.     

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设椭圆的离心率为,其左焦点与抛物线的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点,则

(1)求直线的方程;

(2)椭圆上是否存在点,使得,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)抛物线的焦点为,它是题设椭圆的左焦点.离心率为

所以,.由求得.

因此,所求椭圆的方程为  (*)

(2)椭圆的右焦点为,过点轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为

①  若,则直线过点且与曲线只有一个交点,此时直线

的方程为

②  若,因直线过点,故可设其方程为,将其代入

消去,得.因为直线与曲线只有一个交点,所以判别式,于是,从而直线的方程为.因此,所求的直线的方程为.

可求出点的坐标是.

①若点的坐标是,则.于是=,从而,代入(*)式联立:

,求得,此时满足条件的点有4个:

.

②若点的坐标是,则,点M到直线的距离是

于是有,从而

与(*)式联立:解之,可求出满足条件的点有4个:.

③  若点的坐标是,则,点到直线:的距离是,于是有,从而

与(*)式联立:,解之,可求出满足条件的点有4个:  ,,.

综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
下一知识点 : 直线的一般式方程与直线的垂直关系
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