- 直线的一般式方程
- 共31题
设双曲线C:(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(
,0),离心率
, A、B是双曲线上的两点,AB的中点M(1,2)。
(1)求双曲线C的方程;
(2)求直线AB方程;
(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意得,解得a=1.
所以,
故双曲线C的方程为.
(2)设,则有
。
两式相减得: ,
由题意得,
,
,
所以,即
.
故直线AB的方程为.
(3)假设A、B、C、D四点共圆,且圆心为P. 因为AB为圆P的弦,所以圆心P在AB垂直平分线CD上;又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.
下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。
由得:A(-1,0),B(3,4).
由(1)得直线CD方程:,
由得:C(-3+
,6-
),D(-3-
,6+
),
所以CD的中点M(-3,6).
因为,
,
,
,
所以,
即 A、B、C、D四点在以点M(-3,6)为圆心,为半径的圆上.
知识点
若存在实常数和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”,已知函数
和函数
,那么函数
和函数
的隔离直线方程为_________。
正确答案
解析
有题可知函数与函数
有公共点
,由隔离直线的定义可知只有二者的公切线才能满足,
,可知
,可知直线方程为
,故答案为
。
知识点
如图7,直线,抛物线
,已知点
在抛
物线上,且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
。
(1)求直线及抛物线
的方程;
(2)过点的任一直线(不经过点
)与抛物线
交于
、
两点,直线
与直线
相交于点
,记直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,问:是否存在实数
,使得
?若存在,试求出
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)(法一)点
在抛物线
上,
。
设与直线平行且与抛物线
相切的直线
方程为
,
由 得
,
,
由
,得
,则直线
方程为
。
两直线
、
间的距离即为抛物线
上的点到直线
的最短距离,
有
,解得
或
(舍去)。
直线
的方程为
,抛物线
的方程为
。
(法二)点
在抛物线
上,
,抛物线
的方程为
。……2分
设为抛物线
上的任意一点,点
到直线
的距离为
,根据图象,有
,
,
,
的最小值为
,由
,解得
。
因此,直线的方程为
,抛物线
的方程为
。
(2)直线
的斜率存在,
设直线
的方程为
,即
,
由 得
,
设点、
的坐标分别为
、
,则
,
,
,
,
.
由 得
,
,
,
。
因此,存在实数,使得
成立,且
。
知识点
已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为
、
,抛物线
的准线与
轴交于
,椭圆
与抛物线
的一个交点为
.
(1)当时, ①求椭圆
的方程;②直线
过焦点
,与抛物线
交于
两点,若弦长
等于
的周长,求直线
的方程;
(2)是否存在实数,使得
的边长为连续的自然数.
正确答案
(1)(2)
解析
(1)①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,
当=1时,由题意得,a=2c=2,
,
所以椭圆的方程为.
②依题意知直线的斜率存在,设
,由
得,
,由直线
与抛物线
有两个交点,可知
.
设,由韦达定理得
,
则=
因为的周长为
,所以
,
解得,从而可得直线
的方程为
(2)假设存在满足条件的实数,由题意得
,又设
,设
,对于抛物线M,有
对于椭圆C,由
得
由解得:
,所以
,从而
,因此,
的边长分别为
、
、
,
当时,使得
的边长为连续的自然数.
知识点
设椭圆的离心率为
,其左焦点
与抛物线
的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点
的直线
与曲线
只有一个交点
,则
(1)求直线的方程;
(2)椭圆上是否存在点,使得
,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)抛物线的焦点为
,它是题设椭圆的左焦点.离心率为
,
所以,.由
求得
.
因此,所求椭圆的方程为 (*)
(2)椭圆的右焦点为,过点
与
轴平行的直线显然与曲线
没有交点.设直线
的斜率为
,
① 若,则直线
过点
且与曲线
只有一个交点
,此时直线
的方程为;
② 若,因直线
过点
,故可设其方程为
,将其代入
消去
,得
.因为直线
与曲线
只有一个交点
,所以判别式
,于是
,从而直线
的方程为
或
.因此,所求的直线
的方程为
或
或
.
可求出点的坐标是
或
或
.
①若点的坐标是
,则
.于是
=
,从而
,代入(*)式联立:
或
,求得
,此时满足条件的点
有4个:
.
②若点的坐标是
,则
,点M到直线
:
的距离是
,
于是有,从而
,
与(*)式联立:或
解之,可求出满足条件的点
有4个:
,
,
,
.
③ 若点的坐标是
,则
,点
到直线
:
的距离是
,于是有
,从而
,
与(*)式联立:或
,解之,可求出满足条件的点
有4个:
,
,
,
.
综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。
知识点
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