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题型: 单选题
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单选题

在平面直角坐标系中,方程|x|+|y|=4所表示的曲线是(  )

A三角形

B非正方形的长方形

C正方形

D非正方形的菱形

正确答案

C

解析

解:x≥0,y≥0方程为x+y=4;x≥0,y≤0方程为x-y=4;x≤0,y≥0方程为-x+y=4;x≤0,y≤0方程为-x-y=4,

∴方程|x|+|y|=4的曲线围成的封闭图形是一个以(0,4),(4,0),(0,-4),(-4,0)为顶点的正方形,

故选:C.

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题型: 单选题
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单选题

关于方程+=tan α(α是常数且α≠,k∈Z),以下结论中不正确的是(  )

A可以表示双曲线

B可以表示椭圆

C可以表示圆

D可以表示直线

正确答案

D

解析

解:由方程+=tan α(α是常数且α≠,k∈Z),由α≠,k∈Z得,角α的终边不可能落在坐标轴上

当α是第一象限角时,且终边落在y=x上,此时有x2+y2=表示一个圆,故C可能成立,故不选

当α是第四象限角时,且终边落在y=-x上,此时有y2-x2=-,表示一个双曲线,故A不符合题意,故不选

当α是第一象限角时,且终边不落在y=x上,此时有sinα≠cosα,故此时图象是一个椭圆,故B不符合题意,不选

不论α取什么值,曲线总是二次的,且不能变为两个一次的方程的乘积,故此方程对应的曲线不可能是直线

综上知,D选项是正确选项

故选D

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题型:填空题
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填空题

曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是______

正确答案

y2=16-4x

解析

解:设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C,

在曲线C上任取一点P(x,y),

则P(x,y)关于直线x=2的对称点为Q(4-x,y).

因为Q(4-x,y)在曲线y2=4x上,

所以y2=4(4-x),

即y2=16-4x.

故答案为:y2=16-4x.

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题型: 单选题
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单选题

曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是(  )

A4

B3

C2

D1

正确答案

D

解析

解:由消去y2,得2x2-11x-13=0

解之得x=-1或x=

当x=-1,代入第一个方程,得y=0;

当x=时,代入第一个方程得2y2++3=0,没有实数解

因此,两个曲线有唯一的公共点(-1,0)

故选:D

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题型:简答题
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简答题

求函数f(x)=x2+x关于3x+2y-1=0直线对称的曲线方程.

正确答案

解:设对称曲线上的一点为(x,y),(x‘,y')为y=x2+x上一点,

,整理得

∵y′=x′2+x′,

=(2+()=()().

故函数f(x)=x2+x关于3x+2y-1=0直线对称的曲线方程为=()().

整理得25x2+120xy+144y2+31x-365y+62=0.

解析

解:设对称曲线上的一点为(x,y),(x‘,y')为y=x2+x上一点,

,整理得

∵y′=x′2+x′,

=(2+()=()().

故函数f(x)=x2+x关于3x+2y-1=0直线对称的曲线方程为=()().

整理得25x2+120xy+144y2+31x-365y+62=0.

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题型:简答题
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简答题

(2015秋•孝义市期末)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).

(Ⅰ)求点C的轨迹方程;

(Ⅱ)讨论点C的轨迹的形状.

正确答案

解:(Ⅰ)设C(x,y),则由题知

为点C的轨迹方程.…(4分)

(Ⅱ)当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线;

当m<-1时,点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆;

当m=-1时,点C的轨迹为圆心为(0,0),半径为5的圆;

当-1<m<0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆.…(12分)

解析

解:(Ⅰ)设C(x,y),则由题知

为点C的轨迹方程.…(4分)

(Ⅱ)当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线;

当m<-1时,点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆;

当m=-1时,点C的轨迹为圆心为(0,0),半径为5的圆;

当-1<m<0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆.…(12分)

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题型: 单选题
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单选题

曲线(x+y-3)=0所表示的图形是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:由(x+y-3)=0,得

x2+y2-25=0或

∴曲线(x+y-3)=0所表示的图形如图:

故选:B.

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题型:填空题
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填空题

(2015秋•海安县期末)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=-(x∈[0,2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ,若∀θ∈[0,a],旋转后所得的曲线都是某个函数的图象,则a的最大值为______

正确答案

60°

解析

解:由题意,函数图象如图所示,函数在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数.

设函数在x=0处,切线斜率为k,则k=f‘(0)

∵f'(x)=

∴k=f'(0)=,可得切线的倾斜角为30°,

因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转θ后的切线倾斜角最多为90°,也就是说,最大旋转角为90°-30°=60°,即θ的最大值为60°.

故答案为:60°

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题型:填空题
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填空题

以下几个命题中:其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)

①设A,B为两点定点,k为非零常数,||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线;

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;

③双曲线与椭圆=1有相同的焦点;

④若方程2x2-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则0<a<3;

⑤在平面内,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线.

正确答案

③④

解析

解:①平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,当0<k<|AB|时是双曲线的一支,当k=|AB|时,表示射线,∴①不正确;

②,设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,点A(m,n),P(x,y),由可知P为AB的中点,则B(2x-m,2y-n),因为AB为圆的动弦,所以B在已知圆上,把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆,当B与A重合时AB不是弦,所以点A除外,所以②不正确;

③双曲线与椭圆的焦点都是(±,0),有相同的焦点,正确;

④正确方程2x2-5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则,∴0<a<3,正确;

⑤在平面内,点(2,1)在直线3x+4y-10=0上,

∴到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线,∴⑤不正确

故答案为:③④.

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题型: 单选题
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单选题

已知直线:y=kx-k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,则m的取值范围是(  )

Am≥3

Bm≤3

Cm>3

Dm<3

正确答案

A

解析

解:直线:y=kx-k+1恒过定点(1,1),

∵直线:y=kx-k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,

∴12+2×12≤m,

∴m≥3.

故选:A.

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题型:填空题
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填空题

方程x2-y2=0表示的图形是______

正确答案

两条垂直的直线

解析

解:方程x2=y2 即y=±x,表示两条直线y=x,及y=-x,且这两直线垂直,

故答案为:两条垂直的直线.

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题型: 单选题
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单选题

方程log1+yx+log1-yx=2log1+yxlog1-yx所表示的曲线是如下图所示的(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:当x=1时显然成立,当x≠时方程化简可得x2+y2=1,注意到x、y的范围,

故选C.

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题型: 单选题
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单选题

方程mx2+y2=1所表示的所有可能的曲线是(  )

A椭圆、双曲线、圆

B椭圆、双曲线、抛物线

C两条直线、椭圆、圆、双曲线

D两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线

正确答案

C

解析

解:当m=1时,方程为x2+y2=1表示圆;

当m<0时,方程为y2-(-m)x2=1表示双曲线;

当m>0且m≠1时,方程表示椭圆;

当m=0时,方程表示两条直线.

故选:C.

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题型:填空题
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填空题

确定方程的解集______

正确答案

{5}

解析

解:由题意,,∴x≥5

∵x≥5,∴

∴x=5

故答案为:{5}

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题型:填空题
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填空题

(2015秋•牡丹江校级期中)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意一点,其坐标(x,y)均满足,则的取值范围为______

正确答案

[1,+∞)

解析

解:曲线a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0),

当x,y≥0时,化为ax+by=1;当x≥0,y≤0时,化为ax-by=1;

当x≤0,y≥0时,化为-ax+by=1;当x≤0,y≤0时,化为-ax-by=1.

画出图象:表示菱形ABCD.

,即

设M(-2,0),N(2,0),可得:2|PM|≤8,|BD|≤8,

解得b≥,a≥

的取值范围为[1,+∞).

故答案为:[1,+∞).

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