圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形制作而成的，如果该分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，那么分界线的长度应为（　　）

A

B

C

DπR

正确答案

C

解析

解：设圆心为O，则

∵分界线是一段半径为R的圆弧，且A、B两点间的距离为，

∴∠AOB=90°，

∴分界线的长度为=．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0（m＞0）恒有公共点，求m的取值范围．

正确答案

解：将直线y=kx+1代入曲线mx2+5y2-5m=0，整理得

（m+5k2）x2+10kx+5（1-m）≥0，

对k∈R，总有实数解，

∴△=20m（m-1+5k2）≥0，对k∈R恒成立，

∵m＞0，∴m≥1-5k2恒成立，

∴m≥1．

即m的取值范围是[1，+∞）．

解析

解：将直线y=kx+1代入曲线mx2+5y2-5m=0，整理得

（m+5k2）x2+10kx+5（1-m）≥0，

对k∈R，总有实数解，

∴△=20m（m-1+5k2）≥0，对k∈R恒成立，

∵m＞0，∴m≥1-5k2恒成立，

∴m≥1．

即m的取值范围是[1，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

当α变动时，满足x2sinα+y2cosα=1的点P（x，y）不可能表示的曲线是（　　）

A椭圆

B双曲线

C抛物线

D圆

正确答案

C

解析

解：当sinα=0或cosα=0时，方程表示直线．

当sinα=cosα＞0时，方程表示圆．

当sinα与cosα符号相反时，双曲线．

不论sinα与cosα怎样取值，曲线不可能是抛物线．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知x、y之间满足

（1）方程表示的曲线经过一点，求b的值

（2）（理做文不做）动点（x，y）在曲线（b＞0）上变化，求x2+2y的最大值．

正确答案

解：（1）把点代入=1（b＞0）∴b=1

（2）根据得

∴

当≥b时，即b≥4时（x2+2y）max=2b，当≤b时，即0≤b≤4时（x2+2y）max=+4

∴（x2+2y）max=．

解析

解：（1）把点代入=1（b＞0）∴b=1

（2）根据得

∴

当≥b时，即b≥4时（x2+2y）max=2b，当≤b时，即0≤b≤4时（x2+2y）max=+4

∴（x2+2y）max=．

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题型：单选题

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单选题

设k＞1，则关于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1所表示的曲线是（　　）

A长轴在x轴上的椭圆

B实轴在y轴上的双曲线

C实轴在x轴上的双曲线

D长轴在y轴上的椭圆

正确答案

B

解析

解：∵k＞1，∴1-k＜0，k2-1＞0，方程（1-k）x2+y2=k2-1 即

，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选B．

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题型：单选题

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单选题

已知曲线C的方程为x2+x+y-1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（　　）

A（0，1）

B（-1，3）

C（1，1）

D（-1，2）

正确答案

A

解析

解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程，只有（0，1）满足方程，

所以（0，1）在曲线上．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

方程+=10的化简结果是（　　）

A+=1

B+=1

C+=1

D+=1

正确答案

C

解析

解：方程+=10表示（x，y）与（4，0），（-4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（-4，0）为焦点的椭圆，且a=5，c=4，

所以b=3，

所以椭圆方程为+=1，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

直线y=x与曲线xy=1的交点坐标是（　　）

A（1，1）

B（1，1）和（-1，-1）

C（-1，-1）

D（0，0）

正确答案

B

解析

解：联立，解得或．

∴直线y=x与曲线xy=1的交点坐标是（1，1）和（-1，-1）．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•陕西校级期末）曲线C的方程：

（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？

（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？

正确答案

解：（1）5-m＞m-2＞0，得：2＜m＜，

所以：当2＜m＜时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．

（2）（5-m）（m-2）＜0得m＜2或m＞5，

所以：当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．

解析

解：（1）5-m＞m-2＞0，得：2＜m＜，

所以：当2＜m＜时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．

（2）（5-m）（m-2）＜0得m＜2或m＞5，

所以：当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．

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题型：单选题

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单选题

方程（x2-4）2+=0表示的图形是（　　）

A两条直线

B两个点

C四个点

D四条直线

正确答案

C

解析

解：方程（x2-4）2+=0则x2-4=0并且y2-4=0，

解得：，，，，

得到4个点．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•沈阳校级月考）方程表示的曲线是（　　）

A一个点与一条直线

B两个点或一条直线或一个圆

C两个点

D两条射线和一个圆

正确答案

D

解析

解：由题意，x2+y2=1，或2x-y+2=0（x2+y2-1≥0），

∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•大兴区期末）已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．

（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是______；

（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是______．

正确答案

2

2＜m＜3或

解析

解：（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；

（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；

x＞0，y＞0，x+y-m=0与椭圆方程联立，可得13x2-18mx+9m2-36=0，

∴△=（-18m）2-52（9m2-36）=0，

∵m＞0，∴m=．此时曲线C与椭圆有四个不同的交点

故答案为：2，2＜m＜3或．

1

题型：简答题

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简答题

直线x-y+2=0和椭圆+=1的交点．

正确答案

解：联立直线x-y+2=0和椭圆+=1，

消去y，可得5x2+16x=0，

解得x=0或-，

即有x=0，y=2；或x=-，y=-．

即有交点为（0，2），（-，-）．

解析

解：联立直线x-y+2=0和椭圆+=1，

消去y，可得5x2+16x=0，

解得x=0或-，

即有x=0，y=2；或x=-，y=-．

即有交点为（0，2），（-，-）．

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题型：填空题

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填空题

方程（1-k）x2+（3-k2）y2=4（k∈R），当k=______时，表示圆；当k∈______时，表示椭圆；当k∈______时，表示双曲线；当k=______时，表示两条直线．

正确答案

-1

（-，-1）∪（-1，1）

（-∞，-）∪（1，）

1或-

解析

解：由于方程（1-k）x2+（3-k2）y2=4（k∈R），

则方程表示圆⇔1-k=3-k2＞0，⇔k=-1或k=2（舍去）；

方程表示椭圆⇔1-k＞0，且3-k2＞0，且1-k≠3-k2，

⇔k＜1且-＜k＜，且k≠2且k≠-1．⇔-＜k＜1且k≠-1；

方程表示双曲线⇔（1-k）（3-k2）＜0⇔k＜-或1＜k＜；

方程表示两条直线⇔⇔k=1或k=-．

故答案为：-1，（-，-1）∪（-1，1），（-∞，-）∪（1，），1或-．

1

题型：单选题

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单选题

方程x2-4y2+3x-6y=0表示的图形是（　　）

A一条直线

B两条直线

C一个圆

D以上答案都不对

正确答案

B

解析

解：方程x2-4y2+3x-6y=0可化为（x-2y）（x+2y+3）=0，

∴x-2y=0或x+2y+3=0

∴方程x2-4y2+3x-6y=0表示的图形是两条直线．

故选：B．

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