热门试卷

解：(Ⅰ)设双曲线方程为，

右焦点为F(c，0)(c＞0)，则c2=a2+b2，

不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，

则，

因为，且，

所以，

于是得，

又与同向，故，

所以，

解得或（舍去），

因此，

双曲线的离心率为。

(Ⅱ)由a=2b知，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2， ①

由l1的斜率为知，直线AB的方程为，②

将②代入①并化简，得，

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则，③

AB被双曲线所截得的线段长

，④

将③代入④，并化简得l=，

而由已知l=4，故b=3，a=6，

所以双曲线的方程为。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，

实轴长2a=2的双曲线，

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，

所以双曲线的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及右图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|2， ①

知|PM|＞|PN|，

故P为双曲线右支上的点，

所以|PM|=|PN|+2， ②

将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，

解得|PN|=，

所以|PN|=，

因为双曲线的离心率e==2，

直线l：x=是双曲线的右准线，

故=e=2，

所以d=|PN|，

因此。

解：（1）依题意可得A(-1，0)，B(1，0)

双曲线的焦距为，∴c=，

∴b2=c2-a2=5-1=4

∴双曲线C的方程为（2）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1）

联立方程组 整理，得

解得x=-1或∴

同理方程组可得：

∴x1·x2=1为一定值

（3）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），

则，．

∵≤15，∴，即

∵点P在双曲线上，则，所以，即

又∵点P是双曲线在第一象限内的一点，所以

∵，

∴

由（2）知，，即，设，则，

∴，

∵在上单调递减，在上单调递增、

∴当t=4，即时，

当t=2，即时，

∴的取值范围为

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），

∴ ， ，

∵PA与PB的斜率之积为3，

∴ ，x≠±1，

∴ ．

（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角， 

则tanα= ，tanβ= ， ，

∴tan2β= = = =tanα．

②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，

联立 ，得（3m2﹣1）y2+6mby+3b2﹣3=0，

则△=12（b2+3m2﹣1）＞0， ， ，

∵k= ，∴ ，∴3m2﹣1＜0，

故 ，

设∠DFB=γ，∠DBF=θ，

∵ ，tan ， ，

∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，

∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），

∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，

∵α，2β∈（0，π），

∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，

又∠DFB=2∠DBF，

∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，

∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，

由到角公式，得 = ， ∴ = ，

即 ，

∴3m2﹣1=4b+4，

∴3m2﹣4b=5（定值）．

解：（1）设双曲线C2的方程为

则a2=4-1=3，c2=4，

再由a2+b2=c2，得b2=1，

故C2的方程为。

（2）将代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴且k2＜1 ①

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则

∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=

又∵

得x1x2+y1y2>2

∴，即

解得 ②

由①②得

故k的取值范围为。