热门试卷

解：（I）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；

（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）

与双曲线x2﹣=1联立消去y得

（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0

由题意知3﹣k2≠0且△＞0

设B（x1，y1），C（x2，y2），则

y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=

因为x1、x2≠﹣1

所以直线AB的方程为y=（x+1）

因此M点的坐标为（）

，

同理可得

因此==0

②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）

AB的方程为y=x+1，

因此M点的坐标为（），

同理可得

因此=0

综上=0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F．

解：(Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），

将点（3，）代入上式，

得，解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为。

(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0，

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴，

∴k∈，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=，

而原点O到直线l的距离d=，

∴SΔOEF=，

若SΔOEF=2，即，

解得k=±，满足②，

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=。

解：（1）因为焦点到其相应准线的距离为，所以，，

又因为过点A（0，-b）B（a，0）的直线与原点的距离为，

可设直线方程为，

由点到直线的距离公式得，

解得：，b=1，

所以双曲线方程为。

（2）假设存在直线与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，

则，化简，得，

所以，，

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，

所以直线CD的中点坐标为，

因为AM⊥CD，

所以，解得，

所以，直线的方程为。

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，

动点M（x，y），M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，

∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，其中c=1，e==，

∴a=∴b==2∴则C1轨迹方程为：．

（2）∵C1轨迹方程为：，

∴C1的焦点为：（1，0），（﹣1，0），

C1的顶点为：（，0），（﹣，0）

由题意可知：C2为双曲线则a′=1，c'=，则b′==2，

∴C2轨迹方程为：x2﹣=1．

（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=，

它与C2：x2﹣=1交于P（，﹣4）和Q（），得到得弦|PQ|=8．

当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x﹣），联立方程组，

消去y，整理得，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴弦|PQ|长度为8，

∴=8，解得k=，

∴直线m的方程为x=或y=（x﹣）．

解：（1）由已知直线l的方程为，

∵原点O到直线l的距离为，

∴，即：；

又e=，

∴，

故所求双曲线的方程为：；

（2）把y=kx+5代入中消去y，整理得…①，

设，CD的中点是M，

则，

，

∴，

即，

∴，即，代入①式，△>0，符合题意，

故所求k的值为。

解：①由双曲线的定义可知，

曲线E是以，为焦点的双曲线的左支，

且，a=1，

∴b==1

故曲线E的方程为：x2﹣y2=1（x＜0）

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意建立方程组消去y，

得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0

已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有  解得：

解：(1)由题意知，抛物线的焦点在x轴上，开口方向向右，

设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，

将交点代入得p=2，

故抛物线的方程为y2=4x，焦点坐标为(1，0)，

(2)根据题意知双曲线的一个焦点为(1，0)，则c=1．

又点也在双曲线上，

因此有

又a2+b2=1，

因此可以解得

因此，双曲线的方程为

解：（Ⅰ）由题意，，

解得a=1，c=，

b2=c2﹣a2=2，

∴所求双曲C的方程．

（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，

圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），

化简得mx+ny=2．

以及m2+n2=2得

（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，

∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，

3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，

设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），

x1+x2=，x1x2=．

∵，

且

=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]

=+[4﹣+]

=﹣=0．

∴∠AOB的大小为900．

 解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0），

由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2，

∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，

因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，

所以轨迹L的方程为﹣y2=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），

即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，

解得：x1=，x2=，

故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，），

因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，

故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2，

||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，

若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，

综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，

此时点P的坐标为（，﹣）．

解：（1）由题意，得解得

∴b2=c2﹣a2=2．

∴所求双曲线C的方程为

（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（其中判别式△＞0）

∴x1+x2=2m，①  x1x2=﹣m2﹣2．②

设M（0，y0），则．

由，得．

③由①②③，解得m=±1

所以，m=±1

解：（Ⅰ）由题意，整理得，

所以所求轨迹E的方程为；

（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；

当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，

以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；

当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），

M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点，

由消y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

由得，

所以，

则线段MN的中垂线m的方程为，

整理得直线m：，

则直线m与y轴的交点，

注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，

即，

，①

由，②

将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）；

综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0。

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）直线l1：kx-y=0（k＞0），直线l2：kx+y=0，

由题意得，即，

由P（x，y）∈W，知，

所以，

所以动点P的轨迹C的方程为。

（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0），

由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，

于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），

所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0），

由得，

由直线l与曲线C有两个不同交点，可知，

且，

设的坐标分别为，

则，

设的坐标分别为，

由得，

从而，

所以，

所以，

于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合。

解：（1）设，则，，

∵，

∴，

∴。

（2）设PE的斜率为，PR的斜率为，

则PE：，

PR：，

令，，，

∴，

由PF和圆相切，得，

由PR和圆相切，得，

故为的两解，

故有，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

即，

设，则，

故，

∴，，

∴，

∴MN长度的取值范围是（，4）。

解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0．

∵该直线与圆相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．

设双曲线C的方程为，

∵双曲线C的一个焦点为，

∴2a2=2，a2=1．∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1．

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；

若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．

根据双曲线的定义，|TF2|=2， 所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

．     ①

由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT），则

代入①并整理，得点N的轨迹方程为 ．

（3）由．

令f（x）=（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0 在（﹣∞，0）上有两个不等实根，

因此．又AB的中点为，

∴直线L的方程为．

令x=0，得．∵，

∴．

∴故b的取值范围是．