热门试卷

（1）解：∵线段C2P的中垂线交直线P于点M，

∴|MC2|=|MP|，

又∵|MP|=|M|+2，

∴|M|﹣|MC2|=±2（2＜4）

∴M点轨迹是以，C2为焦点的双曲线，且2a=2，2c=4

∴点M的轨迹E的方程为

（2）证明：（﹣1，0），A2（1，0），，

∴，

∴

∴

∴以DE为直径的圆方程

∴y=0时，

∴以线段DE为直径的圆C过两个定点，定点为

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，

所以，

又a2=b2+c2，因此b=2，

故椭圆的标准方程为，

由题意设等轴双曲线的标准方程为，

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，

因此双曲线的标准方程为。

(Ⅱ)设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

则，

因为点P在双曲线x2-y2=4上，所以x02-y02=4，

因此，即k1k2=1。

(Ⅲ)由于PF1的方程为y=k1(x+2)，

将其代入椭圆方程得，

由韦达定理得，

所以

，

同理可得，

则，

又k1k2=1，

所以，

故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，

因此，存在λ=，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．

解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为

其半焦距离c=6

∴

所以所求椭圆的标准方程为。

（2）点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为

、、（0，6）

设所求双曲线的标准方程为

由题意知，半焦距c1=6

∴

所以所求双曲线的标准方程为。

解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，

所以，

整理得（λ≠0，x≠±1）。

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(-1，0)，(1，0)；

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）。

（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C为椭圆（x≠±1） ，

由题意知，l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，

代入椭圆方程中整理，得， （*）

设，，则x1，x2的方程（*）的两个实根，

∴，，

∴

，

当k=0时，取“=”，

∴k=0时，△OAB的面积取最大值为。

（1）由已知得，解得

∴b2=a2-c2=1…（3分）

∴椭圆方程为+y2=1．…（5分）

（2）依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有+y02=1

又CA：y=(x+3)，DB：y=(x-3)，

∴y2=(x2-9)，

将+y02=1代入即得y2=(x2-9)，-y2=1

所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线-y2=1上．…（10分）

（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）

设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组

消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，

所以x3+x4=，①x3x4=，②…（13分）

因为=λ，所以（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]，

即，所以x3=λ（1-x3），

又l与x轴不垂直，所以x3≠1，

所以λ=，同理μ=．        …（14分）

所以λ+μ=+=．

将①②代入上式可得λ+μ=-．      …（16分）

解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：

（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ， 

∵双曲线经过点（2，2），

∴λ=22﹣4×22=﹣12，

故双曲线方程为： ． 

解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，

设所求双曲线的方程为，

由题意，得，解得a=2，b=1，

所求双曲线的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，），F2（0，），

点F1，F2关于直线y=x的对称点分别为F1′（，0），F2′（，0），

又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0），

由椭圆定义，得2m=，m=3，

因为m2-n2=5，

所以n2=4，

所以椭圆的方程为。

解：（1）焦点为，可设椭圆方程为；

点P（3，4）在椭圆上，，

所以椭圆方程为。

 （2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1，

由题意，得解得a=3，，

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为；

同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．

在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1（-6，0）、F2（6，0），

且tan∠PF1F2=，tan∠PF2F1=2．

∴P（5，2），如图．

（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为

+=1（a＞b＞0），

其半焦距c=6

2a=|PF1|+|PF2|=+=6

∴a=3，b2=a2-c2=9．

所以所求椭圆的标准方程为 +=1

（2）点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）

设所求双曲线的标准方程为 -=1(a1＞0，b1＞0)

由题意知，半焦距

c1=6 2a1=||P′F1′|+|P′F2′||=|-|=4a1=2，

b12=c12-a12=36-20=16．

所以所求双曲线的标准方程为 -=1

由题意可知10-m=1+b，+=1，-=1，

解得，m=1，b=8，

所以椭圆的方程为+y2=1；

双曲线的方程为x2-=1．

∵椭圆D+=1的两个焦点F1（-5，0），F2（5，0），因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．

设双曲线G的方程为-=1（a＞0，b＞0）

∴渐近线为bx±ay=0且a2+b2=25，

∵圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3，

∴=3，即=3，解得a=3，b=4，

∴G方程为-=1．