热门试卷

解：(Ⅰ)设C的标准方程为，

则由题意，

又，

因此，

C的标准方程为，

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0。

 (Ⅱ)如图，由题意点E(xE，yE)在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4，

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，

解得，

故，

因为点E在双曲线上，

有，

所以。

(Ⅰ)解：由题意得，解得a=1，，

所以b2=c2-a2=2，

所以双曲线C的方程为。

(Ⅱ)证明：点P(x0，y0) (x0y0≠0)在圆x2+y2=2上，

圆在点P(x0，y0)处的切线l的方程为，

化简得x0x+y0y=2，

由及得，

因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

所以，且，

设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则，

因为，

且

,

所以∠AOB的大小为90°．

解：（1）由题意可知，平面区域D如图阴影所示，　

设动点为P（x，y），则，即，

由P∈D知x+y>0，x-y＜0，即x2-y2＜0，

所以y2-x2=4（y＞0），　　

即曲线C的方程为=1（y＞0）；

（2）设，　　

则以线段AB为直径的圆的圆心为，

因为直线AB过点F（2，0），　　

所以设直线AB的方程为y=k（x-2），

代入双曲线方程=1（y＞0）得，k2（x-2）2-x2=4，　　

即（k2-1）x2-4k2x+（8k2-4）=0，

因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1，

所以　　

所以|AB|= 　　

=

=f（k）；

（3），　　

所以|AB|=|x1+x2|=||，　　

化简得：k4+2k2-1=0，　　

解得k2=-1（k2=--1不合题意，舍去），

由，　　

又由于y＞0，所以-1＜k＜，

所以k=-。

解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x，y）为巨响生源点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，

故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，

故|PB|- |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上

依题意得a=680，c=1020

∴

故双曲线方程为

用y=-x代入上式，得

∵|PB|>|PA|

∴

即

故。

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心。

解：（1）在△PAB中，|AB|=2，即，

，

即（常数），

点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线，

方程为：．

（2）设，

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，

M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，

即，

因为0＜λ＜1，所以；

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1），

由得：，

由题意知：，

所以，

于是：，

因为，且M，N在双曲线右支上，

所以，

由①②知，。

解：由条件知，设，

（1）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，

此时

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是

代入，有

则是上述方程的两个实根，

所以，，

于是

综上所述，为常数-1。

（2）设，则，，，，

由得：

即

于是的中点坐标为

当AB不与x轴垂直时，，即

又因为A，B两点在双曲线上，

所以，，两式相减得，

，

即

将代入上式，化简得

当AB与x轴垂直时，，求得，也满足上述方程

所以点M的轨迹方程是。

解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F2点到任一条渐近线的距离为2，

，

故双曲线C的方程为。  

（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：

当直线l的斜率不存在时，结论不成立；

当直线l斜率存在时，设其方程为，

并设、，

由知，

，

则， 

故

这不可能；

综上可知，不存在这样的直线。                

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为，

则，

∴所求双曲线方程为；

（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），F（5，0），

设P（x，y），，

∴（x+3，y），，

∵A1，P，M三点共线，

∴，

∴，即，

同理得，

∴，，

 ，

，

∴，

∴，

即=0（定值）。

解：（Ⅰ）依题意可知，

∴，

∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，

则a=1，c=2，∴，

∴轨迹W的方程为。

（Ⅱ）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，

设的方程为，

由得，

又设，

则，

由①②③，解得：，

∵，

∴，

∴，

代入①②，得，，

消去x1，得，即，

故所求直线的方程为。

 （Ⅲ）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点，若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线x=相交；

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，

由（Ⅱ）知且，

又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，

则，

设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则

，

∴，

∵，

∴，即，即直线与圆S相交，

综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；

故对于的任意一确定的位置，在直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得。

解：（Ⅰ）根据题意设双曲线S的方程为，

且，解方程组得，

∴所求双曲线的方程为。 

（Ⅱ）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l：y=kx+4对称；

当k≠0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，

由l⊥MN，直线MN的方程为，

则M、N两点的坐标满足方程组，

消去y得，

显然，

∴，

即，

设线段MN中点为，

则，

∵在直线l：y=kx+4上，

∴，即，

∴，∴，解得m＞0或m＜-1，

∴或，

∴或，即或，且k≠0，

∴k的取值范围是。

解：（1）设C的标准方程为

则由题意

因此

C的标准方程为

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0；

（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，由方程组

及解得：

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4中，令y=0 得

（易知xE≠0），注意到xE2-4yE2=4，得

。

解：（1）设双曲线C的方程为

（a>0，b>0）

由已知得：a=，c=2，

再由a2+b2=c2，

∴b2=1

∴双曲线C的方程为。

（2）设A（xA，yA）、B（xB，yB）

将y=kx+代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0

由题意知

解得

∴当时，l与双曲线左支有两个交点。

（3）由（2）得：xA+xB=

∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）=k（xA+xB）+2=

∴AB的中点P的坐标为

设直线l0的方程为：

将P点坐标代入直线l0的方程，得

∵

∴-2<1-3k2<0

∴m<-

∴m的取值范围为。

解：（Ⅰ）设P（x，y），则

化简得；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0

由题意知，3-k2≠0且△>0

设B（x1，y1），C（x2，y2）

则

因为

所以直线AB的方程为

因此M点的坐标为

同理可得

因此

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2

则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+l

因此M点的坐标为，

同理可得

因此

综上

即

故以线段MN为直径的圆过点F。