热门试卷

解：设双曲线方程为：﹣=1（a＞0，b＞0），

F1（﹣c，0），F2（c，0），P（x0，y0）．

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos=（|PF1|﹣|PF2|）2+|PF1||PF2|．

即4c2=4a2+|PF1||PF2|．

又∵=2．

∴|PF1||PF2|sin=2．

∴|PF1||PF2|=8．

∴4c2=4a2+8，即b2=2．

又∵e==2，

∴a2=．

∴双曲线的方程为：﹣=1．

解：（1）设双曲线方程为

由，同向，

∴渐近线的倾斜角为（0，），

∴渐近线斜率为：

∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴

∴

可得：，

而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

∴；

∴∴

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），

代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

4=，16=﹣，

∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

解：（1）由，所以，，　　

焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离，　　

所以，　　

所以，

所以a2=1， 　　

所以双曲线方程为；　　

（2）设，　　

将y=kx+1代入x2-y2=1得，　　

所以，

解得。

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

＜|AB|=4

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c=2，2a=2，

∴a2=2，b2=c2-a2=2

∴曲线C的方程为。

（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k2）x2-4kx-6=0 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）②

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d=，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥，则有

解得 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

解:椭圆C2：的焦点坐标为（0，），

∴C1的焦点坐标为（0，）

椭圆C2离心率e2=，

双曲线的离心率e1与椭圆的离心率e2之比为，

∴

设双曲线的方程为，

则，

解得a2=9，b2=4

∴双曲线的方程为

解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为，

由题意得或

∴

可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为

则

所以轨迹L的方程为；

（2）∵

仅当时，取“=”

由知直线

联立并整理得

解得或（舍去）

此时

所以最大值等于2，此时。

解：（1）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为，

∴对于双曲线C：c=2，

又为双曲线C的一条渐近线，

∴，解得，

∴双曲线C的方程为。

（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，

设l的方程：，，

则，

，

∴，

∴，

∵在双曲线C上，

∴，

∴，

∴，

同理有：，

若则直线l过顶点，不合题意，∴，

∴是二次方程的两根，

∴，∴，

此时△＞0，∴k=±2，

∴所求Q的坐标为（±2，0）。

解：以O为原点，∠P1OP2的平分线为x轴建立直角坐标系，

设双曲线的方程，

由于双曲线的离心率为，

∴，∴，

∴两条渐近线的方程为，

由此设点P1，P2(x1＞0，x2＞0)，

由题设知点P分所成的比λ=2，得点P的坐标为，

又点P在双曲线上，

∴，即，

∴， ①

又，

且sin∠P1OP2=，

∴，由此得，

代入①式得，∴，

所求方程为。

解：（1），

所以，A、B之间的距离为米。

（2）设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=100，

∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支，

建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，

则曲线为，其中a=50，c=|AB|，

∴c=50，b2=c2-a2=15000，

∴所求曲线方程为(x≥50，y≥0)。

解：（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，

所以直线AD的斜率为-3

又因为点在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为

即。

（2）由解得点A的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为

所以M为矩形外接圆的圆心

又

从而矩形外接圆的方程为。

（2）因为动圆P过点N，

所以是该圆的半径，

又因为动圆P与圆M外切，

所以，

即

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支

因为实半轴长，半焦距

所以虚半轴长

从而动圆P的圆心的轨迹方程为。

解：（1）∵e=，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ

∵过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为x2-y2=6。

（2）∵

∴

=-3+m2

∵M点在双曲线上，

∴9-m2=6，即m2-3=0

∴。

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，

由（2）知m=±

∴△F1MF2的高h=|m|=，

∴=6

解：（1）∵A（a，0），B（0，﹣b），

∴设直线AB：

∴，∴，

∴双曲线方程为：．

（2）∵双曲线方程为：，

∴，设P（x0，y0），

∴，，

∴==3．

B（0，﹣3）B1（0，3），

设M（x1，y1），N（x2，y2）

∴设直线l：y=kx﹣3，

∴，

∴3x2﹣（kx﹣3）2=9．（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

∴

k2=5，即代入（1）有解，

∴．

解：设直线l：，

令x=0，得P(0，)，

设，Q(x，y)，则有，

又在双曲线上，

∴，

∵a2+b2=c2，

∴， 解得：=3，

又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为。

（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（-a，0），A2（a，0），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=3．…2分

将a2=3，P（2，1）代入双曲线方程，得-=1，解得b2=3．…2分

所以双曲线C的标准方程为-=1．…2分

（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：-=1（a＞0，b＞0），

所以A1（0，-a），A2（0，a），

所以kPA1•kPA2=•==1，

解得a2=-3（舍去）．…2分

综上，所求双曲线C的标准方程为-=1．