热门试卷

解：矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，

第一类沿道路PA 送药较近，

第二类沿道路PB 送药较近，

第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．

依题意，界线是第三类点的轨迹．

设M为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50（定值）．  

∴界线是以A、B为焦点的双曲线的右支的一部分．    

如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设所求双曲线方程的标准形式为(a>0，b>0)，

∵ a= 25,2c=|AB|

,b2 =c2-a2=3750,

故双曲线的标准方程为

注意到点C的坐标为，故y的最大值为60，

此时x=35，故界线的曲线方程为(25≤x≤35,y>0)．

解：由题意得A ，B 两点在以P 为圆心，|PA| 为半径的圆上，

P 到l 的距离

从而半径圆的方程为（x-5）2+（y-14）2=148.

由得或

所以A(3，2)，B(17，12)．

设双曲线的方程为mx2-ny2=1（m，n同号），

把A，B两点的坐标分别代入得解得

所以双曲线的方程为x2-2y2=1．

解：(1)设双曲线方程为(mn<0)．

∵P、Q两点在双曲线上，

解得

∴所求双曲线的方程为

(2)∵焦点在x轴上，

∴设所求双曲线的方程为(0<λ<6)．

∴双曲线过点（-5，2），

解得λ=5或λ=30（舍去），

∴所求双曲线的方程为

(3)∵所求双曲线与双曲线有相同的焦点，

∴可设所求双曲线的方程为（-4 <λ<16).  

∵双曲线过点解得λ=4或λ=-14（舍去），

∴所求双曲线的方程为

解：由已知，得，解得：，

∴b=3，

∴双曲线方程为。

（I）由题意可设双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0）

∵点Q(2，)，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1

∴双曲线C的一个焦点为F1（2，0）可得C的另一个焦点为F2（-2，0）（1分）

由2a=||QF1|-|QF2||=|-|=2（3分）

∴a=，又c=2，所以b2=c2-a2=1（4分）

双曲线的方程为-y2=1

（II）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F1（1，0）作与x轴不垂直的任意直线L交抛物线于点A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，定值是2（6分）

证明如下：由于直线与x轴不垂直，可设直线L的方程为y=k（x-1）（k≠0）

联立方程可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0

由题意L与C有两个交点A，B，则k2≠0，△＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x2-2）=

∴线段AB的中点P的坐标(，)（8分）

AB的垂直平分线MP的方程为y-=-(x-)

令y=0可得，x=3+即M（3+，0），F1（1，0）

∴|MF1|=2+（9分）

∵|AB|==

== +4

∴=2（10分）

（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线L交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中e 是圆锥曲线E的离心率）（13分）

（法二）由题意可设双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0）（1分）

由已知可得（3分）

解可得，

∴双曲线的方程为-y2=1（4分）

（II ），（III）同法一

解：（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4﹣9y2=（≠0）

∵双曲线经过，

∴4×（）2﹣9×22=，得=﹣12，

可得双曲线方程为：4﹣9y2=﹣12，

化为标准形式得：．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是，

∴，解之得a=3，b=2．

因此双曲线方程为

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．

因此双曲线方程为

综上所述，可得双曲线方程为或．

到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于2的点P的轨迹，是以F1、F2为焦点的双曲线

焦距为|F1F2|=2c=4，2a=2，所以双曲线的离心率e=，得双曲线的a=b，两条渐近线互相垂直

∵F1（-，-）、F2（，）在直线y=x上，

∴点P的轨迹是以x、y轴为渐近线的双曲线，可设双曲线的方程为y=，（k＞0），

则|PF1|-|PF2|=

(x+

2

)2+(

k

x

+

2

)2

 -

(x-

2

)2+(

k

x

-

2

)2

 =2

移项，两边平方得：(x+)2+(+)2=(x-

2

)2+(

k

x

-

2

)2+4

(x-

2

)2+(

k

x

-

2

)2

 +8

化简整理得：x+-=

(x-

2

)2+(

k

x

-

2

)2

 ，

两边平方，比较系数可得k=1，所以点P的轨迹方程是y=．

解：（1）由题知：，

化简得：；

（2）设，，

代入整理得

∵MQ的方程为

令y=0，得

直线MQ过定点（2，0）。

（1）∵a=b，∴所求圆锥曲线为等轴双曲线．

∴设双曲线方程为-=1，

∵图象经过点，∴-=1，解得a=1，

∴所求双曲线方程为x2-y2=1；

（2）由⇒(k2-1)x2+2kx+2=0，

，

∴k=-1、1、、-，直线与双曲线有一个公共点．

解：如图，以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

∴由正弦定理得|MN|-|MG|=  

∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支（除去与x轴的交点）．    

∴2c=4,2a=2，即c=2,a=1.    

∴b2=c2-a2=3．

∴动点M的轨迹方程（x>0且y≠0）．

解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，

则由渐近线方程y=3x得,

∴b= 3a．

故可设双曲线的标准方程为，

又双曲线过点P(3，-1)，

，解得,

∴b2=80．

∴所求双曲线的标准方程为

(2)若双曲线的焦点在y轴上，

则由渐近线方程y=3x得，

∴a=3b．

故可设双曲线的标准方程为

∵点P(3，-1)在双曲线上，，解得9b2=-80，不合题意．

综上所述，所求双曲线的标准方程是

解：①当双曲线的焦点在x轴上时，(a>0，b>0)．

∵P1、P2在双曲线上，

解得（不合题意，舍去）

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为（a>0，b>0）．

∵P1、P2在双曲线上，

解得

即

∴双曲线的标准方程为

解：(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1（-5，0）、F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2|=10,

∴||PF1|-|PF2||=6<|F1F2|,    故点P的轨迹是双曲线．

(2)∵表示点P(x，y)到两定点F1（-4，0）、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|=8，    

∴|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,    故点P的轨迹是双曲线的右支．

（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为-=1．

由题意，得解得a=8，c=10．

∴b2=c2-a2=100-64=36．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1

由题意，得解得a=3，b=2．

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1．

同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为-=1．