- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点
（1）求这两条曲线的方程；
（2）直线l过轴上定点N（异于原点），与抛物线交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点，试求出定点N的坐标。
正确答案
解：（1）设抛物线方程为
将
∴抛物线方程为
由题意知双曲线的焦点为
∴
对于双曲线，
∴
∴双曲线方程为
（2）设l方程为
联立
设
则
∴
∵以AB为直径的圆过原点
∴
∴
∴
∴N的坐标为（4，0）。
如图，已知椭圆C0：
（1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（2）设动圆C2：
正确答案
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A1（-a，0），A2（a，0），
则直线A1A的方程为
直线A2B的方程为
由①×②可得：
∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
∴
∴
∴
（2）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴
∵A，A′均在椭圆上，
∴
∴
∴
∵t1≠t2，
∴x1≠x2∴
∴
∴
∴
已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F2的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线 l 绕点F2 无论怎样转动，都有
正确答案
解：（1）∵点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
∵F2（﹣2，0），F2（2，0），∴c=2
∵a=1，∴b2=c2﹣a2=3
∴轨迹方程为
（2）假设存在点M（m，0），使得无论怎样转动，都有
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），
与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，
∴
解得k2＞3．
∵
=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2
=
=
∵
∴3（1﹣m2）+k2（m2﹣4m﹣5）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴
解得m=﹣1．
∴当m=﹣1时，
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知结论也成立，
综上，当m=﹣1时，
（1）点A（2，-4）在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；
（2）已知双曲线C经过点（1，1），它渐近线方程为y=±
正确答案
解：（1）设抛物线方程为
将点A（2，-4）代入解得方程为：
（2）设双曲线的方程为
将点（1，-1）代入可得λ=-2，
故双曲线的方程为
双曲线mx2-y2=m的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m=（ ）
正确答案
已知双曲线的x2-y2=a2左右顶点分别为A，B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（ ）
正确答案
已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（ ）
正确答案
过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点作直线l交曲线于A、B两点，若|AB|=2则这样的直线存在（ ）
正确答案
若方程x2cosα-y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα-2ysinα=0的圆心在（ ）
正确答案
“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（ ）
正确答案
已知双曲线x2-y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（ ）
正确答案
双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P是双曲线左支上位于x轴上方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
正确答案
经过点A（3，1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为（ ）
正确答案
抛物线x2=2py（p＞0）与双曲线x2-y2+4y-3=0图形的交点（ ）
正确答案
方程mx2-my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（ ）
正确答案
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