圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设双曲线=1（a＞0）与直线x-y=0相交于A、B两点，且|AB|=4，则双曲线的离心率e=______．

正确答案

解析

解：把y=x代入，

得，整理得（1-a2）x2-a2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴，解得，

∴．

答案：．

1

题型：填空题

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填空题

设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点M，使=0，O为坐标原点，且|MF1|=|MF2|，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

+1

解析

解：∵双曲线左支上存在一点M，使=0，

∴∠F1MF2=90°

设|MF1|=t，则|MF2|=t，

∴a=t，

∵t2+3t2=4c2，∴t=c

∴e==+1

故答案为：+1．

1

题型：填空题

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填空题

过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e=______．

正确答案

2

解析

解：∵S△ABF=××|FB|=b•|AF|，

∴=（c-a）b

∴b2+c2=7（c-a）2，

整理得5e2-14e+8=0，解得e=2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2且与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵||是||和||的等比中项，

∴（c+a）2+=2c（c+a），

∴e4-3e2+2=0，

∵e＞1，

∴e=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为______．

正确答案

y2=8x

解析

解：双曲线的右焦点坐标为（2，0），则所求抛物线的焦点坐标为（2，0）

∴所求抛物线的标准方程为y2=8x

故答案为：y2=8x

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1的渐近线方程为（　　）

Ay=±x

By=±x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

C

解析

解：令-=0，可得y=±x，即双曲线-=1的渐近线方程为y=±x

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

（2015春•清远期末）双曲线x2-4my2=4的实轴长是虚轴长的2倍，则实数m=（　　）

A1

B

C

D1或

正确答案

A

解析

解：双曲线x2-4my2=4化为my2=1，∴a2=4，b2=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，

∴4=，解得m=1．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

（2016•杭州一模）设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：如图所示，

设椭圆与双曲线的标准方程分别为：=1，-=1（ai，bi＞0，a1＞b1，i=1，2），

a12-b12=a22+b22=c2，c＞0．

设|PF1|=m，|PF2|=n．

则m+n=2a1，n-m=2a2，

解得m=a1-a2，n=a1+a2，

由cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，

由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2-2mn•，

∴4c2=（a1-a2）2+（a1+a2）2-（a1-a2）（a1+a2），

化为5c2=a12+4a22，

∴+=5．

∵e2=2e1，∴e1=，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知A是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的离心率为（　　）

A3

B2

C4

D与λ的取值有关

正确答案

A

解析

解：由题意，PG=2GO，GA∥PF1，

∴2OA=AF1，

∴2a=c-a，∴c=3a，

∴e==3．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

过点P（1，3）作一条直线l，与双曲线-=1交于A、B两点，P点刚好是线段AB的中点，这样的直线l是否存在，为什么？若存在，求出直线l的方程．

正确答案

解：假设存在过点P（1，3）作一条直线l，

P点刚好是线段AB的中点．

设直线l：x=1或y-3=k（x-1），

当直线为x=1时，代入双曲线方程，方程无解，不成立；

当直线为y=kx+3-k，代入双曲线方程，可得2x2-（kx+3-k）2=8，

即有（2-k2）x2-2k（3-k）x-（3-k）2-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，

由中点坐标公式可得=1，

解得k=．

判别式为4k2（3-k）2+4（2-k2）[8+（3-k）2]

=4××+4××（8+）＞0，

故存在这样的直线l，且为直线l：y=x+．

解析

解：假设存在过点P（1，3）作一条直线l，

P点刚好是线段AB的中点．

设直线l：x=1或y-3=k（x-1），

当直线为x=1时，代入双曲线方程，方程无解，不成立；

当直线为y=kx+3-k，代入双曲线方程，可得2x2-（kx+3-k）2=8，

即有（2-k2）x2-2k（3-k）x-（3-k）2-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，

由中点坐标公式可得=1，

解得k=．

判别式为4k2（3-k）2+4（2-k2）[8+（3-k）2]

=4××+4××（8+）＞0，

故存在这样的直线l，且为直线l：y=x+．

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题型：单选题

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单选题

如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，

∴A（-a，0）F（c，0），

∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，

且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，

∴直线l的方程为：y=-x+，

直线l：y=-x+与y=-x联立：

，解得P点（，）

将x=0带入直线l：y=-x+，得Q（0，），

∵AP⊥AQ，∴kAP•kAQ=×=-1，

化简得b2-ac-a2=-c2，

把b2=c2-a2代入，得2c2-2a2-ac=0

同除a2得2e2-2-e=0，

∴e=，或e=（舍）．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

（2014秋•西陵区校级期末）已知双曲线-=1（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率e=2，点M（，）在双曲线上．

（1）则双曲线的方程为______；

（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且•=0．则的值为______．

正确答案

-=1

解析

解：（1）∵双曲线的离心率e=2，点M（，）在双曲线上，

∴=2，-=1，

∵c2=a2+b2

∴a2=4，b2=12，

∴双曲线的方程为-=1；

（2）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-x，

y=kx代入双曲线方程，可得-=1，

∴x2=，y2=，

∴==；

同理，=．

则==．

故答案为：-=1，．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，且经过点A（2，-2），则双曲线C的方程是（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

D

解析

解：∵双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，

∴设双曲线的方程为x2-4y2=m；

代入点A（2，-2）得，

4-16=m；

故m=-12；

故x2-4y2=-12；

即-=1；

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

抛物线y2=-8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积为（　　）

A8

B6

C4

D2

正确答案

D

解析

解：因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x，

且抛物线y2=-8x的准线方程为x=2，

所以交于点（2，1）和（2，-1）．

故所求S△=×2×2=2．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线-=1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离为______．

正确答案

2或22

解析

解：双曲线-=1的a=5，b=3，c=，

由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=10，

可设|PF1|=12，即有|12-|PF2||=10，

解得|PF2|=2或22．

若P为右支上一点，即有|PF2|=2≥c-a成立；

若P为左支上一点，即有|PF2|=22≥c+a成立．

故答案为：2或22．

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