圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，

由余弦定理得（2c）2=m2+n2-2mncos60°，

即4c2=m2+n2-mn，

设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，

由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，

∴m=a1+a2，n=a1-a2，

将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22-4c2+a12=0，

a1=3a2，e1•e2==1，

解得e2=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：的一个焦点为F，若双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C

D+1

正确答案

C

解析

解：∵双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，

设F为右焦点，OF=c，A在第一象限，

∴点A的坐标为（c，c）

代入双曲线方程得：-=1，

即为-=1，

即e2-=1，

解得e=1+．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

B

解析

解：∵b＞a＞0，∴＞1．

∵双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线的夹角为60°，

∴=．

∴e==2．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），离心率e=，顶点到渐近线的距离为．求双曲线C的方程．

正确答案

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e==，

∴e2==，

∴a2=4b2；①

设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d

则d==，

∴=，②

由①②联立得：a2=4，b2=1．

∴双曲线C的方程为：-x2=1．

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e==，

∴e2==，

∴a2=4b2；①

设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d

则d==，

∴=，②

由①②联立得：a2=4，b2=1．

∴双曲线C的方程为：-x2=1．

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题型：填空题

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填空题

已知F为双曲线C：-y2=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为______．

正确答案

1

解析

解：双曲线C：-y2=1的a=，b=1，c==2，

则可设F（2，0），

设双曲线的一条渐近线方程为y=x，

则F到渐近线的距离为d==1，

故答案为：1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C：的两条渐近线分别与抛物线y2=6x相交于点O外的A、B两点，若A、B的连线过双曲线的右顶点，且以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，则双曲线C的方程为______．

正确答案

解析

解：双曲线C：的两条渐近线方程为y=±x，代入y2=6x，可得A（，），B（，-）．

∵A、B的连线过双曲线的右顶点，

∴=a，∴6a=b2，①

∵以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，

∴c2=（-c）2+（）2，②

由①②可得a=2，b=2，

∴双曲线C的方程为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于（　　）

A

B-2t

C

D4

正确答案

C

解析

解：双曲线4x2+ty2-4t=0可化为：

∴

∴双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于

故选C．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作倾斜角为60°的直线与双曲线相交于A、B两点，若=4，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D以上均不对

正确答案

B

解析

解：根据题意，A在双曲线的右支上，B在左支上，

设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点F（-c，0），如图所示

∵=4，

∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，

∴x1=4x2+3c①；

又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，

∴y=（x+c），

直线方程与双曲线方程-=1联立，消去y得；

b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，

即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，

∴x1+x2=②；

由①②得，

x2=-===，

又||-||=3||=2a，∴||=a；

∴e====

化简得9e4-109e2+100=0，

解得e2=或e2=1（不合题意，舍去）；

∴e=．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为______，渐近线方程为______．

正确答案

y=

解析

解：由题意得 2a=4，=3，∴a=2，c=6，b===4，

双曲线的焦点在x轴上，故该双曲线的标准方程为，渐近线方程为 y=，

故答案为：，y=．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1，（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）

所以p=2c

∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，

将x=c代入双曲线方程得到

A（c，）

将A的坐标代入抛物线方程得到

=2pc

4a4+4a2b2-b4=0

解得

∵双曲线的渐近线的方程为y=±x

设倾斜角为α则tanα=

∴α＞

故选D

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题型：单选题

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单选题

已知方程：（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示焦距为8的双曲线，则m的值等于（　　）

A-30

B10

C-6或10

D-30或34

正确答案

C

解析

解：方程：（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）可化为

当焦点在x轴上时，a2=3-m，b2=1-m，c2=a2+b2=4-2m，∴4-2m=16，∴m=-6；

当焦点在y轴上时，a2=m-1，b2=m-3，c2=a2+b2=2m-4，∴2m-4=16，∴m=10

综上知，m的值等于-6或10

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．

正确答案

解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．

∵双曲线与椭圆的离心率之和为2，

∴双曲线的离心率为2，

∴=2

∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，

∴c=4，

∴a=2，b=，

∴双曲线的方程是；

（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|-|PF2|=4

∴|PF1|=7，|PF2|=3，

∵|F1F2|=8，

∴cos∠F1PF2==-．

解析

解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．

∵双曲线与椭圆的离心率之和为2，

∴双曲线的离心率为2，

∴=2

∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，

∴c=4，

∴a=2，b=，

∴双曲线的方程是；

（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|-|PF2|=4

∴|PF1|=7，|PF2|=3，

∵|F1F2|=8，

∴cos∠F1PF2==-．

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题型：填空题

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填空题

双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=-x，离心率为e，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：由题意，=，

∴===+=+a，

∵a＞0，b＞0，

∴+a≥2=，当且仅当=a，即a=2，b=2时，等号成立．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线标准方程为=1，

其渐近线方程是=0，

整理得y=±x．

故答案为y=±x．

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题型：单选题

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单选题

双曲线=1的一条渐近线方程为（　　）

Ay=

By=x

Cy=2x

Dy=4x

正确答案

A

解析

解：∵双曲线的方程为-y2=1，

∴它的渐近线方程为：y=±x，

∴y=x是它的一条渐近线方程．

故选：A．

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