圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，•=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：B、P、N三点共线；

（3）求△BMN面积的最小值．

正确答案

解：（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①

由⇒⇒=2，②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）

=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=⇒⇒

∴

=

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴=

由u∈（0，1]⇒

∴，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

解析

解：（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①

由⇒⇒=2，②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）

=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=⇒⇒

∴

=

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴=

由u∈（0，1]⇒

∴，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线C的两条渐近线的方程为，则该双曲线方程可以为______．（只需写出一个满足题设的双曲线方程）

正确答案

（答案不唯一）

解析

解：∵双曲线C的两条渐近线的方程为，

∴可设双曲线方程为=λ（λ≠0）

即y2-=λ，取λ=-9得，即为满足题意的一个双曲线方程

故答案为：（答案不唯一）

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题型：单选题

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单选题

双曲线=1的渐近线方程是（　　）

Ay=x

By=x

Cy=x

Dy=x

正确答案

A

解析

解：由双曲线=1可得：a2=3，b2=4，

解得．

∴双曲线的渐近线方程为．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

（2016•柳州一模）已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A（1，+∞）

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，

所以有＞2c，即2ac＜c2-a2，解出e∈（1+，+∞），

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，．该双曲线的标准方程为______．

正确答案

解析

解：不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=60°由余弦定理得

m2+n2-2mncos60°=4c2②

∵S△PF1F2=12

∴mnsin60°=12 ③

∵离心率为2

∴=2④

解①②③④a=2，c=4

∴b2=c2-a2=12

双曲线的方程为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

与椭圆共焦点的等轴双曲线的方程为______．

正确答案

x2-y2=1

解析

解：对于知半焦距为

所以双曲线的焦点为（）

设等轴双曲线的方程为

据双曲线的三参数的关系得到2a2=2

所以a2=1

所以双曲线的方程为x2-y2=1．

故答案为：x2-y2=1

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题型：单选题

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单选题

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（　　）

A（0，）

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，

⇒＜c＜5．⇒，

∴=；

=．

∴，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线，P为双曲线C上的任意一点．

（1）写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程；

（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．

正确答案

解：（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴-4=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

解析

解：（1）依题意，双曲线的两焦点F1（-，0），F2（，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

∵P（x1，y1）为双曲线C上的任意一点，

∴-4=4，

∴它们的乘积是•==．

∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

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题型：填空题

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填空题

双曲线=1的渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为=1，

∴渐近线方程为=0，即，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1（a，b＞0）的顶点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率e是______．

正确答案

解析

解：由题意，双曲线=1的渐近线方程为，

即bx±ay=0，

∴顶点到渐近线的距离为=，

∵双曲线=1（a，b＞0）的顶点到渐近线的距离等于，

∴=，

∴c=2b，

∵=b，

∴e==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，已知一个双曲线的中心在原点，左焦点为F（-2，0），且过点．

（1）求该双曲线的标准方程；

（2）若P是双曲线上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．

正确答案

解：（1）设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则由题意得c=2，a=，b==1．

则双曲线的标准方程为；

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由，得，

因为点P在双曲线上，得

∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）2-12y2=3．

解析

解：（1）设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则由题意得c=2，a=，b==1．

则双曲线的标准方程为；

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由，得，

因为点P在双曲线上，得

∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）2-12y2=3．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的a=5，c=7，则该双曲线的标准方程为（　　）

A=1

B=1

C=1 或=1

D=0或=0

正确答案

C

解析

解：∵双曲线的a=5，c=7，

∴b2=c2-a2=49-25=24，

而双曲线焦点位置不确定，

∴所求双曲线的标准方程为=1或=1．

故选：C

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题型：填空题

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填空题

双曲线9x2-16y2=144的离心率等于______．

正确答案

解析

解：双曲线9x2-16y2=144可化为，

所以a=4，b=3，c=5，

所以离心率e==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

直线y=kx交双曲线于A，B两点，P为双曲线C上异于A，B的任意一点，则直线PA，PB的斜率之积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设P（x，y），A（m，km），则B（-m，-km），代入双曲线方程可得，

∴，

∵双曲线，

∴，

∴直线PA、PB的斜率之积为===．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•张掖校级月考）已知F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为以双曲线的焦距2c为直径的圆与双曲线的一个交点，若△PF1F2面积的最小值为a2，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A（1，+∞）

B（1，]

C[，+∞）

D（1，2]

正确答案

C

解析

解：由题意得，△PF1F2为以P为直角顶点的直角三角形，

|PF1|•|PF2|≥a2，即|PF1|•|PF2|≥a2，

则4c2=++2|PF1||PF2|

≥4a2+2a2=6a2，

则e=≥，

故选：C．

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