圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线C的方程是：=1（m≠0），若双曲线的离心率e＞，则实数m的取值范围是（　　）

A1＜m＜2．

Bm＜0

Cm＜0或m＞1

Dm＜0或1＜m＜2．

正确答案

D

解析

解．由，或，

所以m＜0或1＜m＜2．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

过原点的直线l，如果它与双曲线相交，则直线l的斜率k的取值范围是______．

正确答案

（-∞，-）∪（，+∞）

解析

解：由题意可知直线的斜率存在，

故设直线方程为y=kx，

联立方程组，

整理，得（4k2-3）x2=12，

欲使得该方程有解，则

4k2-3＞0，

∴k＜-或k＞，

故答案为：（-∞，-）∪（，+∞）．

1

题型：填空题

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填空题

设A，B分别是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，且∠CBA=，若AB=8，BC=，则E的实轴长为______．

正确答案

4

解析

解：由余弦定理，可得AC==5，

∵BC=，

∴2a=AC-BC=4．

故答案为：4．

1

题型：填空题

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填空题

已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，3]

解析

解：∵P为双曲线左支上一点，

∴|PF1|-|PF2|=-2a，

∴|PF2|=|PF1|+2a，①

又=8a，②

∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．

∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，

∴≤3，③

又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，

∴2a+2c＞4a，

∴＞1．④

由③④可得1＜≤3．

故答案为：（1，3]．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线两焦点F1，F2，其中F1为的焦点，两点A （-3，2）B （1，2）都在双曲线上，

（1）求点F1的坐标；

（2）求点F2的轨迹方程；

（3）若直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t的值．

正确答案

解：（1）由，得（x+1）2=-4（y-1），

∵x2=-4y的焦点坐标为（0，-1），

∴（x+1）2=-4（y-1）的焦点坐标为（-1，0），

∴点F1的坐标为（-1，0）；

（2）设F2（x，y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，

即=，

整理得：x2+2x+2y2-8y+1=0（x≠-1）；

（3）联立，得：3x2+（4t-6）x+2t2-8t+1=0．

△=（4t-6）2-12（2t2-8t+1）=-8t2+48t+24=0，解得：t=3．

∴直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点的实数t的取值是．

解析

解：（1）由，得（x+1）2=-4（y-1），

∵x2=-4y的焦点坐标为（0，-1），

∴（x+1）2=-4（y-1）的焦点坐标为（-1，0），

∴点F1的坐标为（-1，0）；

（2）设F2（x，y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||，

即=，

整理得：x2+2x+2y2-8y+1=0（x≠-1）；

（3）联立，得：3x2+（4t-6）x+2t2-8t+1=0．

△=（4t-6）2-12（2t2-8t+1）=-8t2+48t+24=0，解得：t=3．

∴直线y=x+t与F2的轨迹方程有且只有一个公共点的实数t的取值是．

1

题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若•=0 且||||=2ac（c=），则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，

由勾股定理得（2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1-PF2|2-2||||=4a2-4ac，∴c2-ac-a2=0，e2-e-1=0 且e＞1，

解方程得e=，

故选 A．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为（O为原点），则此双曲线的离心率是______．

正确答案

2

解析

解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-（x-c），

由得：x=，y=，即A（，），

∵△OAF的面积为，

∴|OF|×yA=c×=，

∴b=a，

∴==4，

∴e==2．

故答案为：2．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，

∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

∴p=2c，c=2，

∵设P（m，n），由抛物线定义知：

|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．

∴P点的坐标为（3，），

∴解得：，c=2

则双曲线的离心率为2，

故答案为：2．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•汉中校级期末）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（　　）

A10

B5

C

D

正确答案

A

解析

解：c2=25，c=5，

∴双曲线的焦距2c=10．

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

D

解析

解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），

∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，

∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，

∴双曲线的方程是-=1．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

若双曲线x2-4y2=4的左，右焦点是F1，F2，过F1的直线交左支于A，B两点，若|AB|=3，则△AF2B的周长是______．

正确答案

14

解析

解：双曲线x2-4y2=4即为-y2=1，

则a=2，

设AF1=m，BF1=n，则m+n=3，

由双曲线的定义可得AF2=2a+m=4+m，

BF2=4+n，

则有AF1+AF2+BF2+BF1=m+4+m+4+n+n

=8+2（m+n）=14，

则△AF2B的周长是14．

故答案为：14．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•西昌市期末）双曲线x2-y2=a（a≠0）的渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：x2-y2=a（a≠0）的渐近线方程为x2-y2=0，

整理，得y=±x．

故答案为：y=±x．

1

题型：简答题

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简答题

抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点位分别求：

（1）抛物线的方程

（2）双曲线的方程．

正确答案

解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的下焦点为焦点，准线过双曲线的上焦点，∴p=2c．

设抛物线方程为x2=-4c•y，

∵抛物线过点，∴6=-4c•（-）．

∴c=1，故抛物线方程为x2=-4y．

（2）∵双曲线过点，

∴．

∵a2+b2=c2=1，∴．

∴a2= 或a2=9

∵a2+b2=c2=1

∴a2=9（舍）．

∴b2=，

故双曲线方程为

解析

解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的下焦点为焦点，准线过双曲线的上焦点，∴p=2c．

设抛物线方程为x2=-4c•y，

∵抛物线过点，∴6=-4c•（-）．

∴c=1，故抛物线方程为x2=-4y．

（2）∵双曲线过点，

∴．

∵a2+b2=c2=1，∴．

∴a2= 或a2=9

∵a2+b2=c2=1

∴a2=9（舍）．

∴b2=，

故双曲线方程为

1

题型：单选题

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单选题

双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为（　　）

A3

B

C

D2

正确答案

B

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1，

∴=1，

∴b2=a4+1，

∴e2==1+≥1+2，

∴e≥，

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-y2=1（a＞0），与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABC的面积等于1，则a=（　　）

A

B1

C

D

正确答案

C

解析

解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，

代入双曲线-y2=1（a＞0），可得y=±，

∵△ABO的面积等于1，

∴•2=1，

∴a=．

故选：C．

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