圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

双曲线C1：=1（a＞0，b＞0），斜率为2的直线l过双曲线C1的右焦点，且与双曲线C1左右支各有一个交点，则双曲线C1离心率取值范围______．

正确答案

解析

解：∵斜率为2的直线l过双曲线C1的右焦点，且与双曲线C1左右支各有一个交点，

∴．

∴=．

∴双曲线的离心率的取值范围是．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

又∵双曲线离心率为，

∴c=a，可得b=a

因此，双曲线的渐近线方程为y=±x

故答案为：y=±x．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程．

正确答案

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，

设双曲线方程为-y2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（4，3），

∴-32=λ，即λ=-5．

∴所求双曲线方程为-y2=-5，

即：-=1．

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，

设双曲线方程为-y2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（4，3），

∴-32=λ，即λ=-5．

∴所求双曲线方程为-y2=-5，

即：-=1．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-y2=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，△F1PF2的面积为，则•等于（　　）

A2

B3

C4

D5

正确答案

C

解析

解：设P点的纵坐标为h，则

∵△F1PF2的面积为，|F1F2|=2，

∴，

∴P点的纵坐标为1，

代入双曲线-y2=1可得x=±2，

不妨取P（2，1），则•=（--2，0-1）•（-2，0-1）=8-5+1=4，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若=4，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

B

解析

解：由题意，kPQ=．

∴直线PQ为：y=（x+c），与y=x．联立得：Q（，）；

与y=-x．联立得：P（-，）．

∵=4，

∴--=4（-c+），

∴e==．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线实轴长为6，且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是______．

正确答案

或

解析

解：①当焦点在x轴时，，求得a=3，b=2，双曲线方程为；

②当焦点在y轴时，，求得a=3，b=，双曲线方程为．

∴双曲线的方程为或．

故答案为：或．

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题型：简答题

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简答题

求以曲线2x2+y2-4x-10=0和y2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

正确答案

解：联立，解得，

∴渐近线方程为：y=x．

2a=12，解得a=6．

当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：=1，（a，b＞0）．

∴=，∴b=4．

∴双曲线的标准方程为：．

同理可得：当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为：．

解析

解：联立，解得，

∴渐近线方程为：y=x．

2a=12，解得a=6．

当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：=1，（a，b＞0）．

∴=，∴b=4．

∴双曲线的标准方程为：．

同理可得：当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为：．

1

题型：单选题

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单选题

如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（　　）

A10

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设点P到它的右准线的距离是x，∵，

∴，解得．故点P到它的右准线的距离是．故选D．

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题型：简答题

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简答题

（1）求经过点P（-3，2）和Q（-6，-7）的双曲线的标准方程；

（2）已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=-3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．

正确答案

解：（1）设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn＜0），

∵点（-7，）、（）在双曲线上，

∴，解得，

由此可得所求双曲线的标准方程为-=1．

（2）设动点M（x，y），

设⊙M与直线l：x=-3的切点为N，可得MN⊥l且|MA|=|MN|，

∴动点M到定点A和定直线l：x=-3的距离相等，

由抛物线的定义，可得点M的轨迹是以A（3，0）为焦点、x=-3为准线抛物线，

∴=3，可得2p=12，抛物线的方程为y2=12x，即为动圆圆心M的轨迹方程．

解析

解：（1）设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn＜0），

∵点（-7，）、（）在双曲线上，

∴，解得，

由此可得所求双曲线的标准方程为-=1．

（2）设动点M（x，y），

设⊙M与直线l：x=-3的切点为N，可得MN⊥l且|MA|=|MN|，

∴动点M到定点A和定直线l：x=-3的距离相等，

由抛物线的定义，可得点M的轨迹是以A（3，0）为焦点、x=-3为准线抛物线，

∴=3，可得2p=12，抛物线的方程为y2=12x，即为动圆圆心M的轨迹方程．

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题型：单选题

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单选题

下列双曲线不是以2x±3y=0为渐近线的是（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

C

解析

解：令方程右边为0，可得C的渐近线方程为3x±2y=0．

其余方程可得渐近线方程为2x±3y=0．

故选：C．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的渐近线方程______．

正确答案

解析

解：∵双曲线，

∴a=且b=，

∴双曲线的渐近线方程为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______．

正确答案

解析

解：设椭圆方程为：（a＞b＞0）

c=1，a2-b2=c2=1

设P的坐标为：﹙m，m+2﹚P在椭圆上

∴=1，

∴﹙a2-1﹚m2+a2﹙m2+4m+4﹚=a2﹙a2-1﹚=﹙a2﹚2-a2

﹙2a2-1﹚m2+4a2m+5a2-﹙a2﹚2=0

△=﹙4a2﹚2-﹙8a2-4﹚﹙5a2-a4﹚≥0

∴2a4-11a2+5≥0

∴﹙2a2-1﹚﹙a2-5﹚≥0

∴a2≤或a2≥5

∵c2=1，a2＞c2

∴a2≥5，长轴最短，即a2=5

b2=a2-1=4

所以：所求椭圆方程为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线3x2-y2=3，直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A，B两点且倾斜角为45°，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．

正确答案

解：双曲线化为标准方程为，则．…（2分）

直线l的方程为y=x-2，…（4分）

与双曲线方程联立，消去y得：2x2+4x-7=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得A，B两点分别位于双曲线的左右两支上．…（6分）

∵，…（8分）

∴．…（12分）

解析

解：双曲线化为标准方程为，则．…（2分）

直线l的方程为y=x-2，…（4分）

与双曲线方程联立，消去y得：2x2+4x-7=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得A，B两点分别位于双曲线的左右两支上．…（6分）

∵，…（8分）

∴．…（12分）

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=-x，则它的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1的渐近线方程为y=x，

由一条渐近线为y=-x，可得=，

即b=a，

即有e====．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知A、B依次是双曲线的左、右焦点，C是双曲线E右支上的一点，则在△ABC中，=______．

正确答案

解析

解：根据正弦定理：在△ABC中，有=；

又由题意A、B分别是双曲线 =1的左、右焦点，则|AB|=2c=4，

且△ABC的顶点C在双曲线的右支上，又可得|CB|-|CA|=-2a=-2；

故 ===-．

故答案为：-．

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