圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲的中心在坐标原点，实轴在x轴上，其离心率e=，已知点到双曲线上的点的最短距离为2，求双曲线的方程．

正确答案

解：双曲线的其离心率，故双曲线方程可设为x2-y2=λ2…．（2分）

在双曲线上任取一点（x，y）点到双曲线上的点的距离设为d

则…（4分）

d2在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8…（6分）

当时，，解得λ2=2；…．（8分）

当时，，

解得或（舍）即；…（10分）

综上：双曲线的方程为x2-y2=2或…（12分）

解析

解：双曲线的其离心率，故双曲线方程可设为x2-y2=λ2…．（2分）

在双曲线上任取一点（x，y）点到双曲线上的点的距离设为d

则…（4分）

d2在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8…（6分）

当时，，解得λ2=2；…．（8分）

当时，，

解得或（舍）即；…（10分）

综上：双曲线的方程为x2-y2=2或…（12分）

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题型：简答题

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简答题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为，求双曲线的方程．

正确答案

解：由已知⇒⇒b=----------------------（5分）

双曲线方程为----------------．（10分）

解析

解：由已知⇒⇒b=----------------------（5分）

双曲线方程为----------------．（10分）

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•洛阳期末）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，

则由双曲线的定义知m-n=2a，①

∵△PF1F2为直角三角形，

∴m2+n2=4c2，②

∵双曲线的离心率为5，

∴，即c=5a，

把①和②联立方程组，

解得mn=2b2=2（c2-a2）=48a2，

解方程组，得m=8a，n=6a，

∴cos∠PF1F2====．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，定点A（1，3），点P在双曲线的右支上运动，则|PF1|+|PA|的最小值等于______．

正确答案

11

解析

解：∵P在双曲线-=1的右支上，

∴|PF1|-|PF2|=6，

∴|PF1|=|PF2|+6，又A（1，3），双曲线右焦点F2（5，0），

∴|PF1|+|PA|

=|PF2|+6+|PA|

≥|AF2|+6

=+6

=5+6

=11（当且仅当A、P、F2三点共线时取“=”）．

故答案为：11．

1

题型：单选题

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单选题

已知F1，F2是双曲线E的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若∠MF1F2=30°则双曲线E的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，MF1⊥MF2，设|F1F2|=2c，则

∵∠MF1F2=30°，∴|MF1|=c，|MF2|=c，

∴2a=MF1-MF2=，

∴=，

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

已知F1、F2是双曲线C：-=1的两个焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|=5，则|PF2|=______．

正确答案

9

解析

解：双曲线C：-=1中a=2，c==4，

∵|PF1|=5＜c+a=6，∴P在双曲线的左支上，

∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=4，

∴|PF2|=9

故答案为：9．

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题型：填空题

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填空题

从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=______．

正确答案

1

解析

解：设双曲线的右焦点为F′，则MO是△PFF′的中位线，

∴|MO|=|PF′|，|MT|=|PF|-|FT|，

根据双曲线的方程得：

a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，

∵PF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，

∴Rt△OTF中，|FT|=4，

∴|MO|-|MT|=|=|PF′|-（|PF|-|FT|）=|FT|-（|PF|-|PF′|）=4-a=1

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线的标准方程为=1

（1）若曲线表示双曲线，试求k的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求其焦点坐标；

（3）在（1）的条件下，若曲线经过点，求曲线的方程．

正确答案

解：（1）由题意，（25-k）（9-k）＜0，∴9＜k＜25；

（2）由（1）知，a2=25-k，b2=k-9，∴c2=16，∴c=4，∴焦点坐标为（±4，0）；

（3）由题意，，

∵9＜k＜25，

∴k=13，

∴曲线的方程为．

解析

解：（1）由题意，（25-k）（9-k）＜0，∴9＜k＜25；

（2）由（1）知，a2=25-k，b2=k-9，∴c2=16，∴c=4，∴焦点坐标为（±4，0）；

（3）由题意，，

∵9＜k＜25，

∴k=13，

∴曲线的方程为．

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题型：简答题

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简答题

已知直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，交y轴于点P，c为双曲线的半焦距，O为坐标原点，若|OP|，2a，|OF|成等比数列，求此双曲线的离心率和渐近线方程．

正确答案

解：由y=x+m，令x=0，可得y=m，

∵直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，

∴0=-+m，

∴m=，

∴|OP|=，

∵|OP|，2a，|OF|成等比数列，

∴4a2=，

∴c2=8a2，

∴e==2，b2=7a2，

∴=，渐近线方程为y=±x．

解析

解：由y=x+m，令x=0，可得y=m，

∵直线y=x+m经过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，

∴0=-+m，

∴m=，

∴|OP|=，

∵|OP|，2a，|OF|成等比数列，

∴4a2=，

∴c2=8a2，

∴e==2，b2=7a2，

∴=，渐近线方程为y=±x．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左．右焦点分别为F1．F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵抛物线y2=2bx的焦点F（，0），

线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5：3的两段，

∴（+c）：（c-）=5：3，∴c=2b，

∴c2=a2+b2=a2+c2，

∴=．

∴此双曲线的离心率e=．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

过双曲线x2-y2=4的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是______．

正确答案

22

解析

解：∵|PF2|-|PF1|=4，|QF2|-|QF1|=4

∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7

∴|PF2|+|QF2|-7=8，

∴|PF2|+|QF2|=15，

∴△F1PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=15+7=22，

故答案为：22．

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题型：填空题

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填空题

以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e12+e22的最小值是______．

正确答案

4

解析

解：∵e12=，e22=，∴e12+e22=+=2++≥2+2=4

（当且仅当a=b时等号成立）．

∴当它们的实、虚轴都在变化时，e12+e22的最小值是4．

故答案为：4．

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题型：单选题

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单选题

已知K为实数，若双曲线的焦距与K的取值无关，则k的取值范围为（　　）

A（-2，0]

B（-2，0）∪（0，2）

C[0，2）

D[-1，0）∪（0，2]

正确答案

A

解析

解：方程表示双曲线⇔（k-5）（2-|k|）＜0⇔-2＜k≤0或0＜k＜2或k＞5；

当-2＜k≤0时，方程为：，a2=2+k，b2=5-k，则c2=7与k无关；

当0＜k＜2时，方程为：，a2=2-k，b2=5-k，则c2=7-2k与k有关；

当k＞5时，方程为：，a2=k-5，b2=k-2，则c2=2k-7，与k有关；

故选A．

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题型：单选题

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单选题

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，则双曲线的离心率为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

A

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线方程为x=-

∵准线经过双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点

∴a=

∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，

∴M的横坐标为

代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±

将M的坐标代入双曲线方程，可得，∴

∴=

∴c=

∴e==

故选A．

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ______．

正确答案

解析

解：根据题意，设AB=2c，则AE=BD=c，BE=AD=c

∴在以A，B为焦点，且过D，E的椭圆中，离心率=，

以A，B为焦点，且过D，E的双曲线中，离心率==+1，

椭圆与双曲线的离心率的倒数和为：

．

故答案为：．

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