圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线方程为______．

正确答案

y=x

解析

解：双曲线的离心率e==即：c=a，

∴c2=a2+b2=3a2，∴b2=2a2，b=a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=x，

故答案是

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题型：单选题

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单选题

若双曲线的渐近线和圆x2+y2-4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：圆x2+y2-4x+3=0可化为（x-2）2+y2=1

∴圆心坐标C（2，0）

∵双曲线的渐近线为ax±by=0，

圆x2+y2-4x+3=0与渐近线相切，

∴C到渐近线的距离为=1，即c=2a

因此该双曲线的离心率为e==2

故选：D

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题型：单选题

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单选题

双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为（　　）

A6

B8

C10

D12

正确答案

B

解析

解：双曲线方程中a=4，b=3

∴c==5

∴e==

∴P到左焦点的距离为2a+2=10

∴P点到左准线的距离为10×=8

故选B

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点A是以F1为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF2与圆相切，则该双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：由题意可得A在双曲线的左支上，AF1⊥AF2，

且AF1=b，AF2=2a+b，F1F2=2c，

由勾股定理可得，b2+（2a+b）2=4c2，

由c2=a2+b2，化简可得b=2a，

c==a，

即有e==．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设椭圆的焦点为（c，0），

则令x=c，则y=，弦长为=，

则有a=2b，

即有双曲线的离心率为e===．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P的直线与两渐近线分别交于P1，P2，设λ=，求证：=ab．

正确答案

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

解析

证明：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则y1=x1，y2=-x2，∵λ=，

∴x=，y===•，

由点P（x，y）在双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，

∴-=1，

化简得：x1x2=，

又|OP1|==|x1|，同理可得|OP2|=|x2|，

∴|OP1|•|OP2|=|x1|•|x1|=•=．

设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=，

∴tan2θ===，

∴sin2θ==，

∴=•|OP1|•|OP2|sin2θ=•=ab．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线y2-3x2=9的渐近线方程是（　　）

Ay=±3x

B

C

D

正确答案

C

解析

解：双曲线y2-3x2=9可变形为

∴a=3，b=

又∵双曲线的焦点在y轴上，∴渐近线方程为y=±=±

化简得，y=±x

故选C

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题型：单选题

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单选题

若F1、F2是双曲线=1的两个焦点，点P是该双曲线上一点，满足|PF1|+|PF2|=9，则|PF1|•|PF2|=（　　）

A4

B5

C

D2

正确答案

C

解析

解：不妨设P是双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4，

∵|PF1|+|PF2|=9，

∴|PF1|=，|PF2|=，

∴|PF1|•|PF2|=．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•红桥区期末）已知双曲线的一个焦点坐标是（5，0），则双曲线的渐近线方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，双曲线的焦点在x轴，且，

∵一个焦点是（5，0），

∴

∴双曲线的渐近线方程为．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，A是相应的顶点，P是y轴上的点，满足∠FPA=α，则双曲线的离心率的最小值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设F为双曲线的右焦点，且为（c，0），右顶点A（a，0），

设|OP|=h，

则tanα=tan（∠FPO-∠APO）=

==，

由于h+≥2，当且仅当h=时，取等号．

即有tanα≤，

即2tanα≤-，

即有2tanα≤-，即e-2tanα-1≥0，

即≥tanα+，

即有e≥（）2==

=．

当且仅当h=时，e的最小值为．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

解析

解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），

∵双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴4+b2=9，∴b2=5

∴双曲线的渐近线方程为y=，即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值是______．

正确答案

1

解析

解：∵双曲线（a＞0）的离心率为，

∴，

∴a=1

故答案为：1

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题型：填空题

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填空题

设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：假设|F1P|=x

∵OP为三角形F1F2P的中线，

∴根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2），

整理得x（x+2a）=c2+5a2，

由余弦定理可知x2+（2a+x）2-x（2a+x）=4c2，

整理得x（x+2a）=4c2-4a2，

进而可知c2+5a2=4c2-4a2，

求得3a2=c2

∴c=a，

∴b=a，

∴渐近线为y=±x，

故答案为：y=±x．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线X+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为

y=x，

由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，

则有=2，即有b=2a，

c==a，

则离心率为e==．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（　　）

A

B

C2

D2

正确答案

A

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=1，①=1，②，

∵点P（2，1）是AB的中点，

∴x1+x2=4，y1+y2=2，

∵直线l的斜率为2，∴，

∴①-②得a2=b2，

∴c2=2a2，

∴e=．

故选：A．

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