圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

方程表示双曲线，则m的取值范围是（　　）

Am＜3

B-3＜m＜3

Cm＞3或-3＜m＜2

Dm＞2或-3＜m＜3

正确答案

C

解析

解：依题意得，（2-m）（|m|-3）＜0，

∴若m＞0，解得m＜2或m＞3，

∴0＜m＜2或m＞3；

若m＜0，解得-3＜m＜2，

∴-3＜m＜0；

若m=0，亦可．

综上所述，-3＜m＜2或m＞3

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

已知P为双曲线左支上一点，F1，F2为双曲线的左右焦点，且cos∠PF1F2=sin∠PF2F1=

则此双曲线离心率是（　　）

A

B5

C2

D3

正确答案

A

解析

解：cos∠PF1F2=sin∠PF2F1

∴90°-∠PF1F2=∠PF2F1，即90°=∠PF1F2+∠PF2F1

设|PF1|=x，||PF2|=y

则有x2+y2=4c2，①

根据正弦定理=

即

∴2x=y②

①②联立方程求得x=，y=c

∴根据双曲线定义可知y-x=c=2a

∴e==

故选A

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•嘉峪关校级期末）已知斜率为1的直线l与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±3x

By=±x

Cy=±

Dy=±x

正确答案

B

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

两式相减可得：-=0，

∵斜率为1的直线l与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），

∴k•kOM==3，

∴y=x=±x．

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

（2015春•扬州校级月考）抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______．

正确答案

解析

解：∵抛物线方程为y2=-12x，

∴抛物线的焦点为F（-3，0），准线为x=3．

又∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x．

∵直线x=3与直线y=±x相交于点M（3，），N（3，-），

∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，

可得其面积为S=×|MN|×3=×[-（-）]×3=3．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

若双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，则双曲线的离心率等于（　　）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，

∴=，

∴e==．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

（2015•四川模拟）若角α的终边经过点A（，a），且点A在双曲线=1的渐近线上，则sinα=（　　）

A±1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，

点A在双曲线=1的渐近线上，

即有a=±×=±1，

sinα==±=．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点为（0，2），离心率为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx-与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且•＞-2（其中O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为，

由已知得c=2，=

∴a=，b2=c2-a2=．

∴双曲线C的方程为；

（2）直线l：y=kx-与双曲线联立可得（6-3k2）x2+6kx-14=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠2，且k2＜①

x1+x2=-，x1x2=-，

由•＞-2，得x1x2+y1y2＞-2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k（x1+x2）+2=

于是＞-2，

∴＜k2＜2，②

由①②得＜k2＜2，∴k∈（-，-）∪（，）．

解析

解：（1）设双曲线方程为，

由已知得c=2，=

∴a=，b2=c2-a2=．

∴双曲线C的方程为；

（2）直线l：y=kx-与双曲线联立可得（6-3k2）x2+6kx-14=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠2，且k2＜①

x1+x2=-，x1x2=-，

由•＞-2，得x1x2+y1y2＞-2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k（x1+x2）+2=

于是＞-2，

∴＜k2＜2，②

由①②得＜k2＜2，∴k∈（-，-）∪（，）．

1

题型：填空题

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填空题

焦点在x轴上的双曲线ax2-by2=1的离心率为，则=______．

正确答案

4

解析

解：双曲线ax2-by2=1化为标准方程为，从而，

故答案为4．

1

题型：填空题

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填空题

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是______．

正确答案

（，1）

解析

解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，

∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，

∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，

|PF2|=10-2a2，

又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．

故∈（1，2）．

∴a2∈（，5），

设椭圆的半实轴长为a1，

则|PF1|+|PF2|=2a1=20-2a2，

即a1=10-a2∈（5，）

故e=∈（，1）

故答案为：（，1）

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•宁波期末）已知F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线F1B的交点分别为M，R，若△RMF1与△PQF2的面积之比为e，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

解：由题意，|OB|=b，|O F1|=c．∴kPQ=，kMR=-．

直线PQ为：y=（x+c），与y=x．联立得：Q（，）；

与y=-x．联立得：P（，）．PQ的中点为（，），

直线MR为：y-=-（x-），

令y=0得：xM=，

又△RMF1与△PQF2的面积之比为e，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∴3c=xM=，

解之得：e2=，

∴e=

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：x2-=1的离心率为e，若p=e，则抛物线E：x2=2py的焦点F到双曲线C的渐近线的距离为（　　）

A

B1

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线C：x2-=1的a=1，b=，c==2，

则离心率e==2，即p=2，

抛物线E：x2=2py即为x2=4y，

则有F（0，1），又双曲线的渐近线方程为y=x，

则所求距离d==．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为______．

正确答案

或

解析

解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）

所以所作斜率为1的直线l：y=x-a，

若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．

联立其中一条渐近线y=-x，则，

解得x2=①；

同理联立，

解得x1=②；

又因为|AB|=2|AC|，

（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，

把①②代入整理得：b=3a，

∴e===；

（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，

∴x1+2x2=3a，

把①②代入整理得：a=3b，

∴e===．

综上所述，双曲线G的离心率为或．

故答案为：或．

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题型：填空题

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填空题

若抛物线C的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左焦点，则抛物线C的标准方程为______．

正确答案

y2=-20x

解析

解：双曲线16x2-9y2=144，可化为，c2=9+16=25

∴c=5

∴双曲线的左焦点为（-5，0）

∵双曲线的左焦点是抛物线的焦点

∴抛物线的标准方程是y2=-20x

故答案为：y2=-20x．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（c，0），（0，b）两点，若直线l与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：根据题意知，直线l与双曲线的渐近线y=垂直；

直线l的斜率为；

∴；

∴，可设，则：；

∴e2-e-1=0；

解得，或（舍去）．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x-3）2+y2=9相交于A．B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）

A8

B

C3

D4

正确答案

C

解析

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx-ay=0，圆（x-3）2+y2=9相交于A、B两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2=2，

可得：=2．解得b=2a．

∴c=3a．

∴双曲线的离心率为3．

故选：C．

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