- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
（I）求双曲线的方程；
（II）设A（m，0）和
正确答案
（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因
故
利用a2+b2=c2，得
因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．
（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．
由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是
因为x1≠0，得
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．
解析
（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．
设点M（x，y），则x、y满足
因
故
利用a2+b2=c2，得
因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．
（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为
于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足
将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．
由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是
因为x1≠0，得
同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足
可解得
所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．
与椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：椭圆
则双曲线的c=5，可设双曲线的方程为
则a2+b2=25，
离心率e=
即有双曲线的方程为
故选：D．
（2015•上虞市二模）双曲线x2-y2=2的实轴长为______，离心率为______，渐近线方程为______．
正确答案
2
y=±x
解析
解：双曲线x2-y2=2中a=b=
∴实轴长为2a=2
故答案为：2
过双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线
直线AB：y=x+a，
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=
可得交点C（
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-
可得交点B（-
由
（
即有
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
则c=
则e=
故选：D．
设F1，F2分别为双曲线
正确答案
解析
解：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，
∴△OF1A是等边三角形
∴|AF1|=c，
∴
∴
∵双曲线的离心率介于整数k与k+1之间
∴k=2
故选B．
曲线C与双曲线x2-y2=a2关于点（3，4）对称，求曲线C的方程．
正确答案
解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；
设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：
∴
（6-x）2-（8-y）2=a2；
该方程即为曲线C的方程．
解析
解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；
设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：
∴
（6-x）2-（8-y）2=a2；
该方程即为曲线C的方程．
若双曲线
Ae＞1
Be＞
Ce＞
De＞
正确答案
解析
解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相离，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即
∴3b2＞a2，
∴c2=a2+b2＞
∴e=
故选：C．
双曲线
正确答案
解析
∴F1（-c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=
∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即
∵b2=c2-a2，∴上式化简为（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0．
两边都除以a4，得e4-3e2+1=0，解之得e2=
∵双曲线的离心率e＞1，
∴e2=
故答案为：
双曲线C的中心在原点，右焦点为F（
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（0，1）的直线L与双曲线的右支交与两点，求直线L的斜率的范围；
（Ⅲ）设直线L：y=kx+1与双曲线C交与A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
正确答案
解：（I）设双曲线的方程为
∵c2=a2+b2，
∴a2=
∴双曲线C的方程为：
（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得
设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：
解得：-
（III）由
由△＞0，且3-k2≠0，得-
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即
∴
解析
解：（I）设双曲线的方程为
∵c2=a2+b2，
∴a2=
∴双曲线C的方程为：
（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得
设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：
解得：-
（III）由
由△＞0，且3-k2≠0，得-
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即
∴
设点P是双曲线
正确答案
解析
解：∵点P是双曲线
∴点P到原点的距离|PO|=
∵|PF1|=2|PF2|，
∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∴16a2+4a2=4c2，
∴5a2=c2，
∴e=
故答案为：
已知双曲线
A
Bx2-y2=1
C
D
正确答案
解析
解：∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，
∴4c2=|PF1|•|PF2|，
∵|PF1|-|PF2|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16，
即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①
设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，
由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos（π-θ），
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ
整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2
∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．
∵一条渐近线方程为y=
∴
∴
故选：A．
双曲线C1：
A（
B（
C（
D（0，
正确答案
解析
解：抛物线的焦点坐标为（
∴p=2c
∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，
∴将x=c代入双曲线方程得到A（c，
将A的坐标代入抛物线方程得到
4a4+4a2b2-b4=0
解得
双曲线的渐近线的方程为y=±
设倾斜角为α，则tanα=
∴
故选：A．
（2015秋•吉林校级期末）讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数．
正确答案
解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．
①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；
②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±
③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-
解析
解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．
①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；
②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±
③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-
设F1、F2是离心率为
A2
B
C3
D
正确答案
解析
解：取PF2的中点A，则
∵
∴
∴PF1⊥PF2，OA=
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，
∴
又 
故选A．
已知P点是双曲线
正确答案
解析
解根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a，即3|PF1|-|PF1|=2a．
∴a=|PF1|．|PF2|=3a
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF1||，c＜2|PF1|=2a，
∴
当p为双曲线顶点时，
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选C
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