圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

双曲线x2-2y2=2的焦点坐标是______，离心率是______．

正确答案

（±，0）

解析

解：双曲线x2-2y2=2即为-y2=1，

则a=，b=1，c=，

故焦点为（±，0），离心率为e==．

故答案为：（±，0），．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线x2-my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为______．

正确答案

4

解析

解：双曲线x2-my2=1化为x2-=1，

∴a2=1，b2=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，

∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，

解得m=4．

故答案为：4．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•武威校级期末）已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F1作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点，且AF2⊥x轴，如图．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若|AB|=16，求双曲线的标准方程．

正确答案

解：（Ⅰ）将x=c代入双曲线的方程得y=±，A（c，）

在△AF1F2中tan30°=

即=，解得e==；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=a，设双曲线的方程为-=1，

设直线AB的方程为y=（x-a）

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+2ax-9a2=0，解之得x1=-a，x2=a

将x1，x2代入①，得y1=-2a，y2=-a，故A（-a，-2a），B（a，-a），

故|AB|==a=16，

∴a=5，

∴双曲线的方程为．

解析

解：（Ⅰ）将x=c代入双曲线的方程得y=±，A（c，）

在△AF1F2中tan30°=

即=，解得e==；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=a，设双曲线的方程为-=1，

设直线AB的方程为y=（x-a）

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+2ax-9a2=0，解之得x1=-a，x2=a

将x1，x2代入①，得y1=-2a，y2=-a，故A（-a，-2a），B（a，-a），

故|AB|==a=16，

∴a=5，

∴双曲线的方程为．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线C：y2=2px与双曲线-y2=1的右焦点重合，则抛物线C上的动点M到直线l1：4x-3y+6=0和l2：x=-2距离之和的最小值为______．

正确答案

解析

解：因为抛物线C：y2=2px与双曲线-y2=1的右焦点重合，

所以p=4，x=-2是抛物线准线，

作MA⊥l1，MB⊥l2，由抛物线定义MB=MF，

当M，A，F三点共线时，距离之和的最小，其值是F到l1距离，

由点到直线距离可得，其距离为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线为y=±2x，则此双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设双曲线的方程为=1，（a，b＞0），

则渐近线方程为y=x，

即有2=，则b=2a，

c==a，

则e==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线方程为-=1，则其离心率等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线方程为-=1，

则有a=3，b=4，c==5．

则e==．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

斜率为2的直线l在双曲线-=1上截得的弦长为，求l的方程．

正确答案

解：设直线l的方程为y=2x+b，直线l和双曲线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则将y=2x+b带入并整理得：

10x2+12bx+3b2+6=0；

∴；

∴=；

∴解得b2=15，∴；

∴直线l的方程为：y=2x-，或y=2x+．

解析

解：设直线l的方程为y=2x+b，直线l和双曲线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则将y=2x+b带入并整理得：

10x2+12bx+3b2+6=0；

∴；

∴=；

∴解得b2=15，∴；

∴直线l的方程为：y=2x-，或y=2x+．

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题型：填空题

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填空题

过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|=______．

正确答案

解析

解：由双曲线的方程得F1（-3，0），F2（3，0），直线AB的方程为y=（x-3）①

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x-27=0，解之得x1=-3，x2=．

将x1，x2代入①，得y1=-2，y2=-

故|AB|=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）

A4

B2

C1

D

正确答案

C

解析

解：不妨设P为双曲线右支上的点，

由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，

由双曲线的定义，可得，PF1-PF2=2，

解得PF1=2+，PF2=2-，

F1F2=2，

由于（2）2+（2-）2=（2）2，

则三角形PF1F2为直角三角形，

则面积为：=1，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-

正确答案

D

解析

解：设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则渐近线方程为y=x，

则有=，c=10，a2+b2=100，

解得a2=80，b2=20，

即有双曲线的方程为-=1．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若原点到直线-=1的距离为，求曲线的方程式．

正确答案

解：（1）由已知条件；

∴；

∴，；

∴；

∴双曲线的渐近线方程为：；

（2）由（1）知，a=；

∴直线变成；

∴；

∴b=1，；

∴曲线方程为：．

解析

解：（1）由已知条件；

∴；

∴，；

∴；

∴双曲线的渐近线方程为：；

（2）由（1）知，a=；

∴直线变成；

∴；

∴b=1，；

∴曲线方程为：．

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题型：单选题

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单选题

（2013•鹰潭校级模拟）已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的是（　　）

Ae2+e1=2

Be2-e1=2

Ce2e1=2

D＞2

正确答案

A

解析

解：设正三角形的边长为m，则

椭圆中焦距2c=AB=m，2a=DA+DB=

∴椭圆的离心率e1===-1；

双曲线中2c′=AB=m，2a′=DB-DA=，

∴双曲线的离心率e2==+1，

∴e2-e1=2，e2e1=2，＞2．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ______．

正确答案

60°

解析

解：根据双曲线方程可知其渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±

∴准线被它的两条渐近线截得线段的长度等为2••=

焦点坐标为（c，0），则焦点到渐近线方程的距离为=b

∴b=，整理得2a=c

∴b==a

∴渐近线方程为y=±x

∴渐近线倾斜角为60°和120°

∴两条渐近线的夹角为60°

故答案为：60°

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为______．

正确答案

y2=x

解析

解：双曲线C1：=1的渐近线方程为y=x，

抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），

则F到渐近线的距离为d==2，

由双曲线的离心率为2，即e==2，

b==a，

则有=2，

解得p=，

则有抛物线的方程为y2=x．

故答案为：y2=x．

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于______．

正确答案

24

解析

解：双曲线的两个焦点F1（-5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，

由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，

由双曲线的性质知x-x=2，解得x=6．

∴|PF1|=8，|PF2|=6，

∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，

∴△PF1F2的面积=×8×6=24．

故答案为：24．

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