- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵b＞a＞0，∴渐近线斜率为：k＞1，
∴
∴e2＞2，
∴|AB|2=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=
∴
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（
∴
∴
∴e=
故选：B．
已知双曲线x2-
正确答案
证明：双曲线的右焦点为2（
（1）当直线AB垂直于轴时，A（
∴
（2）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：=k（），
代入双曲线方程，消去得（4-k2）2+2
设A（1，1），B（2，2），
∴1+2=
∴
综上所述，
解析
证明：双曲线的右焦点为2（
（1）当直线AB垂直于轴时，A（
∴
（2）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：=k（），
代入双曲线方程，消去得（4-k2）2+2
设A（1，1），B（2，2），
∴1+2=
∴
综上所述，
如图，给定双曲线
正确答案
证明：设过点F（c，0）的直线l方程为：y=k（x-c），
设点M（x1，y1），点N（x2，y2）
将直线l方程y=k（x-c）代入
整理得：（b2-a2k2）x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0，
∴x1+x2=
直线AM的方程为：y=
令x=
∴点P的坐标（
直线PF的斜率为k′={
=
①②联立化简，可得直线PF的斜率为k′=-
∴kk′=-1，
∴PF⊥MN．
解析
证明：设过点F（c，0）的直线l方程为：y=k（x-c），
设点M（x1，y1），点N（x2，y2）
将直线l方程y=k（x-c）代入
整理得：（b2-a2k2）x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0，
∴x1+x2=
直线AM的方程为：y=
令x=
∴点P的坐标（
直线PF的斜率为k′={
=
①②联立化简，可得直线PF的斜率为k′=-
∴kk′=-1，
∴PF⊥MN．
已知F1，F2是等轴双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|等于______．
正确答案
4
解析
解：∵双曲线C的方程为：x2-y2=1，
∴a2=b2=1，得c=
由此可得F1（-
∵∠F1PF2=60°，
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=8①
又∵点P在双曲线C：x2-y2=1上，
∴||PF1|-|PF2||=2a=2，平方得|PF1|2-2|PF1|•|PF2|+|PF2|2=4②
①-②，得|PF1|•|PF2|=4
故答案为：4
F1、F2是双曲线
正确答案
17
解析
解：∵双曲线
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8，|PF1|=9，
∴|PF2|=1＜（不合，舍去）或|PF2|=17，
故|PF2|=17．
故答案为17．
（2015•安庆校级模拟）已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，△AFB的周长最大时，AB经过右焦点，所以A的坐标是（2，3），
所以双曲线中
所以双曲线的离心率e=
故选：C．
已知
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由m＞0，n＞0，
可得mn≥8，
当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．
即有双曲线
即有a=2，b=2
e=
故选：C．
将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
正确答案
解析
解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=
双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=
∴
∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，
故选：D．
已知F为双曲线C：x2-
正确答案
2
解析
解：双曲线C：x2-
则可设F（
设双曲线的一条渐近线方程为y=2x，
则F到渐近线的距离为d=
故答案为：2．
如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为
A
B4
C2
D1
正确答案
解析
解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为
∴
解得
所以它的两条准线间的距离是
故选C．
双曲线x2-3y2=3的两条渐近线所成的锐角为______．
正确答案
60°
解析
解：双曲线x2-3y2=3即为
即有渐近线方程为y=±
由两直线的夹角公式可得tanθ=|
则所成的锐角为60°．
故答案为：60°．
（2015•商丘一模）已知抛物线y2=4x与双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
可得双曲线的焦点为F（1，0）和F‘（-1，0），
设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），
则
由（
即为2m（1-m）+0=0，
解得m=1（0舍去），
即有A（1，2），
由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a，
即为2
即a=
由e=
故选D．
设双曲线
正确答案
1＜e＜
解析
解：设点P（m，n），可得
∵AP⊥PQ，
∴
又∵P（m，n）在双曲线
∴
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
化简整理，得-
此方程的一根为m1=a，另一根为m2=
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
故答案为：1＜e＜
双曲线
正确答案
4
解析
解：∵双曲线的方程为 
∴两焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0），（ 2，0），
∴|F1F2|=4，
∵△F1PF2面积为2，设点P的坐标为（m，n），
则 
∴|n|=1，不妨取n=1，
将点P（m，1）的坐标代入双曲线的方程，得：m=±
则P（ 
∴
∴丨
故答案为：4．
已知双曲线
正确答案
解：双曲线
由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=
即有双曲线方程为：x2-y2=2．
即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），
则
又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，
即y02=x02-2，
即有
由双曲线的性质，可得x02≥2，
则有
故所求范围是[-2，+∞）．
解析
解：双曲线
由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=
即有双曲线方程为：x2-y2=2．
即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），
则
又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，
即y02=x02-2，
即有
由双曲线的性质，可得x02≥2，
则有
故所求范围是[-2，+∞）．
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