- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：ax2-y2=1（a＞0）
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过
（2）设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切且
正确答案
解：（1）双曲线C1：
过点A与渐近线y=
解方程组
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=
由S≤
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
由
=2•
即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有双曲线的方程为2x2-y2=1．
解析
解：（1）双曲线C1：
过点A与渐近线y=
解方程组
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=
由S≤
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
由
=2•
即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有双曲线的方程为2x2-y2=1．
双曲线
正确答案
解析
在△AEF中，由余弦定理得AE2=AF2+EF2-2AF•EFcos120°=1+1-2（-
∴AE=
∴a=
∴e=
故答案为：
已知顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线，焦点F在直线2x+3y-4=0上．求抛物线的方程．
正确答案
解：∵焦点在直线2x+3y-4=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
∴焦点F的坐标为（2，0），
设方程为y2=2px（p＞0），则
求得p=4，
∴则此抛物线方程为y2=8x．
解析
解：∵焦点在直线2x+3y-4=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
∴焦点F的坐标为（2，0），
设方程为y2=2px（p＞0），则
求得p=4，
∴则此抛物线方程为y2=8x．
已知双曲线方程为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：法1：∵双曲线的方程为
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x-369=0的两根，
∴x1+x2=-
∴线段PQ的中点N（-
∴PQ的垂直平分线方程为y+
令y=0得：x=-
∴|MF|=5+
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：
∴|PF|=
同理可得|QF|=3-
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-
=6-
=6-
=
∴
法2：令过其右焦点F的直线的斜率为0，直线PQ的方程为：y=0，点P、Q就是双曲线的左右顶点，PQ的垂直平分线方程为x=0，即y轴，点M与原点重合，此时|MF|=c=5，|PQ|=2a=6，∴
故选B．
给出下列命题：
①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f‘（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取得极值的必要不充分条件．
②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．
③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1-x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为
④若P为双曲线x2-
其中正确命题的序号是______（把所有正确命题的序号都填上）．
正确答案
②③
解析
解：对于①，先说明充分性不成立，
例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，
说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；
再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；
对于②，由题意，
若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A33=6种
若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A22×A33=12，
综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；
对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=
由诱导公式得函数y=2coswx 又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π
∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；
对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2，
∴|PF1|-4=±2，
∴|PF1|=6或2，但是|PF1|≥c-a=
故答案为：②③．
已知直线l过双曲线C：3x2-y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=______．
正确答案
6
解析
解：3x2-y2=9的右顶点为（
∴直线l的方程为y=
∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，
∴
故答案为：6．
已知椭圆的顶点与双曲线
正确答案
解：双曲线
则椭圆的顶点为（±4，0），
由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，
双曲线的离心率为
由于它们的离心率之和为
则椭圆的离心率为
b=
则有椭圆方程为
解析
解：双曲线
则椭圆的顶点为（±4，0），
由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，
双曲线的离心率为
由于它们的离心率之和为
则椭圆的离心率为
b=
则有椭圆方程为
双曲线
A
B
C2
D
正确答案
解析
解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（-x1，-y1）
∴kPM•kPN=
∵
∴两式相减可得
∵kPM•kPN=
∴
∴b=
∴c=
∴e=
故选：B．
双曲线x2-4y2=-1的渐进线方程为______．
正确答案
x±2y=0
解析
解：由x2-4y2=0，可得双曲线x2-4y2=-1的渐近线方程是x±2y=0．
故答案为：x±2y=0．
已知双曲线
Ay=±3x
By=±2x
Cy=±（
Dy=±（
正确答案
解析
解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，
∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得
∴x=
∴B（
代入双曲线方程，整理可得b=（
∴双曲线的渐近线方程为y=±（
故选：C．
双曲线
正确答案
解析
解：∵双曲线
故答案为
已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且经过P（2，3）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）问是否存在实数m使得直线l：y=mx+1交双曲线C于A，B两点，且线段AB的中点落在直线x+2y=0上，若存在求m的值；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）设双曲线方程为
则
∴a=1，b=
∴双曲线的标准方程为
（2）y=mx+1代入
∴线段AB的中点坐标为（
代入直线x+2y=0，可得
∴m=-6，此时△＜0，故不存在．
解析
解：（1）设双曲线方程为
则
∴a=1，b=
∴双曲线的标准方程为
（2）y=mx+1代入
∴线段AB的中点坐标为（
代入直线x+2y=0，可得
∴m=-6，此时△＜0，故不存在．
过双曲线x2-
A
B2
C6
D4
正确答案
解析
解：双曲线x2-
过双曲线x2-
可得yA=2
∴|AB|=4
故选：D．
若双曲线
A
B
C3
D
正确答案
解析
解：由双曲线
又由题意知双曲线的渐近线方程为：
∴
∴双曲线焦点F的坐标为（0，
故选C
已知双曲线
A
B
C2
D3
正确答案
解析
解：由题意可知，一渐近线方程为 y=
H的坐标为 （
∴
故选 A．
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