- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
过点P（8，3）的直线与双曲线9x2-16y2=144相交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹．
正确答案
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点M（x，y），
则9x12-16y12=144，9x22-16y22=144，
两式相减得9x（x1-x2）-16y（y1-y2）=0，
∴
解析
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点M（x，y），
则9x12-16y12=144，9x22-16y22=144，
两式相减得9x（x1-x2）-16y（y1-y2）=0，
∴
双曲线
A
B
C2
D
正确答案
解析
解：双曲线
c=
即有e=
故选A．
与双曲线
正确答案
2
解析
解：设双曲线方程为
从而所求双曲线方程的焦点坐标为（2.5，0），一条渐近线方程为y=
故答案为2．
设抛物线x2=4y的准线与双曲线C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：抛物线x2=4y的准线方程为y=-1，
∵双曲线C：
∴x=±
∵|AB|=1，
∴
∴
∴e=
故选：A．
已知双曲线
正确答案
解析
解：双曲线的标准方程得：
∴c2=a2+b2=5，∴c=
∴则其渐近线方程为 
离心率：
故答案为：
已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为______．
正确答案
解析
由题设得A点坐标为（c，a），
代入双曲线的方程得到：
所以，a=b
c=
∴e=
故答案为：
过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意可知
∵∠
∴
∴4a2c2=b4=（c2-a2）2=c4-2a2c2+a4，
整理得e4-6e2+1=0，
解得
故选C．
已知F1、F2为双曲线
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上；
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上；
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必过（3，0）．
其中真命题的序号是______．
正确答案
①④
解析
解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，所以|PF1|-|PF2|=2a=6，故|F1M|-|F2M|=6，而|F1M|+|F2M|=2
设M点坐标为（x，0），
则由|PF1|-|PF2|=2a=6，可得（x+
故答案为①④．
已知双曲线C1：
（1）求a的取值范围；
（2）求双曲线离心率e的取值范围；
（3）求|AB|．
正确答案
解：（1）联立
∵双曲线C1：
∴
∴a的取值范围是
（2）∵c2=a2+1，
∴
∵
∴
∴
则双曲线离心率e的取值范围是
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∴|AB|=
=
解析
解：（1）联立
∵双曲线C1：
∴
∴a的取值范围是
（2）∵c2=a2+1，
∴
∵
∴
∴
则双曲线离心率e的取值范围是
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∴|AB|=
=
设P为双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
由直线的斜率公式，得
KPF=
根据到角公式，得
tan∠APF=
化简，得tan∠APF=
此时 
则∠APF的余弦的最小值
故选B．
过双曲线C：
正确答案
解析
解：由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=90°，
∴∠AOF=45°，又OA=a，OF=c，
∴
∴e=
故答案为：
（1）求证：（
（2）求|AB|的最小值．
正确答案
解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤
同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥
⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．
∴（
（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，
解得y1=n，y2=
由弦长公式得|PA|=
设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是
解析
解：（1）因P（x0，y0）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x02-y02=a2．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2 ③
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x1-x0）（x1+x0）=（y1-y0）（y1+y0） ⑤
同理（x2-x0）（x2+x0）=（y2-y0）（y2+y0） ⑥
⑤×⑥÷④得（x1+x0）（x2+x0）=-（y1+y0）（y2+y0）．
∴（
（2）为简单起见，记x0=m，y0=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，
解得y1=n，y2=
由弦长公式得|PA|=
设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是
F1，F2为双曲线
正确答案
解：在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°
∴
∵|F2F1|=2c
∴tan30°=
∴
∴
∴
∴双曲线的渐近线方程为
解析
解：在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°
∴
∵|F2F1|=2c
∴tan30°=
∴
∴
∴
∴双曲线的渐近线方程为
已知点F是双曲线
A（1，+∞）
B（1，2）
C（1，1+
D（2，1+
正确答案
解析
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=
∴
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B
（2015秋•雅安期末）已知双曲线的方程为
正确答案
解析
解：设点D的坐标为（0，
由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=4．
∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，
又B是圆（x-
则圆的圆心为C（
故|BD|≥|CD|-1=
从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为
故答案为：
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