- 圆锥曲线与方程
- 共4501题
已知双曲线
A2
B3
C
D
正确答案
解析
解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（
∵双曲线
∴c=
∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=
∴M的横坐标为
代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±
将M的坐标代入双曲线方程，可得
∴e=2
故选：A．
已知双曲线M：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵双曲线M方程为：
∴两个双曲线的焦距相等，设其焦距为2c，其中c满足：
∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得
去分母，得c2（c2-a2）-a2c2=a2（c2-a2），
整理，得c4-3a2c2+a4=0，所以e4-3e2+1=0，解之得e2=
∴双曲线M的离心率e=
故选A
设F1、F2是双曲线
A2
B1
C
D
正确答案
解析
解：由于
所以（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=20a，
由双曲线定义得（4
故选：B．
已知双曲线一焦点坐标为（0，-5），一渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵双曲线一焦点坐标为（0，-5），
∴双曲线方程形式为：
∵渐近线方程为3x+4y=0，
∴c=5，
解得：a=3，e=
故选：D
（2015秋•潜山县校级月考）已知中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1．
（I）求双曲线C的方程；
（II）若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点 A，B，且
正确答案
解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，
∴c=2，b=1，
∴a=
∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，
即k2≠
x1+x2=
由
而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=
于是
∴
由①②得
∴k的取值范围为（-
解析
解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，
∴c=2，b=1，
∴a=
∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，
即k2≠
x1+x2=
由
而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=
于是
∴
由①②得
∴k的取值范围为（-
已知双曲线
（1）若点M在双曲线上，且
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3
正确答案
解：（1）已知双曲线
∵
∴MF1⊥MF2，
∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，
与
∴得|y|=
∴点M到x轴的距离为
（2）设双曲线C的方程为
代入（3
∴λ=-4，
∴双曲线C的方程为
解析
解：（1）已知双曲线
∵
∴MF1⊥MF2，
∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=20上，
与
∴得|y|=
∴点M到x轴的距离为
（2）设双曲线C的方程为
代入（3
∴λ=-4，
∴双曲线C的方程为
双曲线
正确答案
（1，3]
解析
解：∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，
而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，
∴有c-a≤2a，
∴1＜e≤3，
故答案为（1，3]．
设双曲线
正确答案
解析
解：∵双曲线
∴
∴
∴
∴双曲线的离心率e=
故答案为：
已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：∵1，m，9构成一个等比数列，
∴m2=1×9，
则m=±3．
当m=3时，圆锥曲线
当m=-3时，圆锥曲线
则离心率为
故选C．
设双曲线
正确答案
解析
解：取特殊点P（c，
则直线OP的方程为y=
又直线AQ的方程为y=
直线AR的方程为y=-
解得Q，R的坐标为（
易得|OP|2=|OQ|•|OR|．
故选C
设F1，F2是双曲线C：
正确答案
解析
解：根据题意，得
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a；
又∠F1PF2=90°，
∴
即（4a）2+（2a）2=（2c）2=4a2+4b2，
∴b2=4a2，
∴
∴双曲线C的渐近线方程是2x±y=0．
故选：B．
求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点
（2）与椭圆
（3）焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．
正确答案
解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为
设椭圆的方程为
代入
∴m=4，
∴椭圆的方程为
（2）椭圆
∵直线y=
∴
∴a=1，b=
∴双曲线C的方程为
（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点
所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）
当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，
当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，
综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．
解析
解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为
设椭圆的方程为
代入
∴m=4，
∴椭圆的方程为
（2）椭圆
∵直线y=
∴
∴a=1，b=
∴双曲线C的方程为
（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点
所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）
当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，
当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，
综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．
若双曲线
正确答案
解析
解：∵
则3e2-5e-2＞0，
∴e＞2或
∴e∈（2，+∞），
故选B．
求曲线的方程：
（1）求中心在原点，左焦点为F（-
（2）求中心在原点，一个顶点坐标为（3，0），焦距为10的双曲线方程．
正确答案
解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为
由题意可得：c=-
所以解得：b=1，
所以椭圆方程为：
（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），
所以双曲线的焦点在x轴上，
所以设双曲线方程为
由已知得：a=3，c=5，
解得：b=4，
所以双曲线方程为：
解析
解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为
由题意可得：c=-
所以解得：b=1，
所以椭圆方程为：
（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），
所以双曲线的焦点在x轴上，
所以设双曲线方程为
由已知得：a=3，c=5，
解得：b=4，
所以双曲线方程为：
已知双曲线
正确答案
y=±2x
解析
解：∵离心率等于
∴
∴b=2a．而双曲线
所以双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为 y=±2x．
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