圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

双曲线-=1的一条渐近线的倾斜角为n，经过此双曲线的一个焦点且与其实轴垂直的直线与该双曲线相交于P，Q两点，则|PQ|的长度是多少？

正确答案

解：∵双曲线-=1的一条渐近线的倾斜角为n，

∴tann=，

令x=c，则，∴y=±，

∴|PQ|==2btann．

解析

解：∵双曲线-=1的一条渐近线的倾斜角为n，

∴tann=，

令x=c，则，∴y=±，

∴|PQ|==2btann．

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题型：简答题

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简答题

椭圆和双曲线=1（m＞0）有相同的焦点，P（3，4）是椭圆和双曲线渐近线的一个交点，求m的值及椭圆方程．

正确答案

解：双曲线=1的一条渐近线方程为，将P（3，4）代入，可得m=9，

∴双曲线方程为，焦点坐标为（0，±5），

∴P（3，4）到（0，±5）的距离的和为4，

∴2a=4，c=5，

∴==，

∴椭圆方程为．

解析

解：双曲线=1的一条渐近线方程为，将P（3，4）代入，可得m=9，

∴双曲线方程为，焦点坐标为（0，±5），

∴P（3，4）到（0，±5）的距离的和为4，

∴2a=4，c=5，

∴==，

∴椭圆方程为．

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题型：单选题

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单选题

（2016•天津校级模拟）已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ax±2y=0

B2x±y=0

C

D

正确答案

C

解析

解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，

∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5-=5-2=3

因此y02=8x0=24，得y0=±2

∴点P（3，±2）在双曲线上

可得9-=1，解之得m=3

∴双曲线标准方程为，

得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x

故选：C

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-y2=1的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A、B、C、D四点，则矩形ABCD的面积为（　　）

A

B3

C8

D2

正确答案

A

解析

解：双曲线-y2=1的a=，b=1，c=2，

则双曲线的焦点F1（-2，0），F2（2，0），

渐近线方程为y=±x，

令x=-2，可得y=±；令x=2，可得y=±．

则有A（-2，），B（-2，-），C（2，-），D（2，），

则矩形ABCD的面积为|AB|•|BC|=×4=．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的方程是（　　）

A-=1

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由双曲线渐近线方程可知=①

因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②

又c2=a2+b2③

联立①②③，解得a2=4，b2=12，

所以双曲线的方程为-=1．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

双曲线2y2-x2=4的虚轴长是（　　）

A

B2

C2

D4

正确答案

D

解析

解：双曲线方程2y2-x2=4化为标准方程：，

∴b=2，

∴虚轴长2b=4，

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为______．

正确答案

解析

解：由双曲线焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，可知=，

则．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，

∴设双曲线的方程为，

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，

得 =，设a=2t，b=t，则c==t（t＞0）

∴该双曲线的离心率是e==，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

【文】设双曲线-=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线与圆（x-a）2+y2=4相切于点M，则△F1MF2的面积为（　　）

A4

B2

C8

D4

正确答案

C

解析

解：双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x，即2x-ay=0，

∵渐近线与圆（x-a）2+y2=4相切，

∴=2，

∴a=2，

∴c=4，

直线MF2的方程为y=-（x-4）与y=x联立，可得M（2，2），

∴△F1MF2的面积为=8，

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

曲线=（2-x）的焦点是双曲线C的焦点，点（3，-）在C上，则C的方程是______．

正确答案

3x2-y2=1

解析

解：=（2-x）可化为，焦点为（±1，0），

设双曲线方程为，

∵点（3，-）在C上，

∴，

∴a2=，

∴C的方程是3x2-y2=1．

故答案为：3x2-y2=1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A是右顶点，B是虚轴的上端点，F是左焦点，当BF⊥AB时，此类双曲线称为“黄金双曲线”，其离心率为e=，类比“黄金双曲线”，推算出“黄金椭圆”（如图）的离心率e=______．

正确答案

解析

解：由题意可得，FA2=FB2+BA2，即（a+c）2=a2+a2+b2，即（a+c）2=2a2+a2-c2，

整理得，a2=c2+ac，两边同除以a2，得1=e2+e，解得e=，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左、右焦点，若其右支上存在点P满足=e（e为双曲线C的离心率），则e的最大值为（　　）

A4

B3+

C2+1

D3+2

正确答案

C

解析

解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=±，

∵|PF1|=e|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），

根据双曲线的第二定义，可得e2（x-）=e（x+），

∴（e-1）x=+a

∵x≥a，

∴+a≥（e-1）a，∴e2-2e-1≤0

∵e＞1，∴1＜e≤2+1，

则双曲线的离心率的最大值为2+1．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为（0，3），则K的值为______，双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

-1

y=±2x

解析

解：根据题意，易得双曲线的焦点在y轴上，

则双曲线的方程可变形为，且k＜0；

焦点坐标为（0，3），则有（-）+（-）=9，

解可得，k=-1；

双曲线8kx2-ky2=8即，

故双曲线8kx2-ky2=8的渐近线方程为，即y=±2x，

故答案为：-1；y=±2x．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线顶点间的距离为6，一条渐近线方程为y=，求双曲线的标准方程．

正确答案

解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：x2-y2=k（k＞0）

∵两顶点之间的距离为6，

∴2=6，∴k=，

∴双曲线的方程为；

当双曲线的焦点在y轴上

设双曲线的方程为：y2-x2=k（k＞0）

两顶点之间的距离为6，

∴=6，∴k=9，

∴双曲线的方程为．

∴双曲线的方程为或．

解析

解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：x2-y2=k（k＞0）

∵两顶点之间的距离为6，

∴2=6，∴k=，

∴双曲线的方程为；

当双曲线的焦点在y轴上

设双曲线的方程为：y2-x2=k（k＞0）

两顶点之间的距离为6，

∴=6，∴k=9，

∴双曲线的方程为．

∴双曲线的方程为或．

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题型：单选题

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单选题

双曲线x2-2y2=1的离心率是（　　）

A

B

C

D3

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-2y2=1即为x2-=1，

即有a2=1，b2=，c===，

则e==

故答案为：B．

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