圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　）

Ab-a=|MO|-|MT|

Bb-a＞|MO|-|MT|

Cb-a＜|MO|-|MT|

Db-a=|MO|+|MT|

正确答案

A

解析

解：连OT，则OT⊥F1T，

在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．

连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，

∴|OM|=|PF2|，

∴|MO|-|MT|=|PF2|-（|PF1|-|F1T|）=（|PF2|-|PF1|）+b

=×（-2a）+b=b-a．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且，则双曲线的离心率（　　）

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：∵F1F2为圆的直径

∴△MF1F2为直角三角形

∴tan∠MF1F2==

设|MF1|=t，|MF2|=2t

根据双曲线的定义可知a==t

4c2=t2+4t2=5t2，

∴c=t

∴e==

故选D．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•合肥校级月考）双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）．

（1）求双曲线的方程；

（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．

正确答案

解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），

设双曲线的方程为-=1，

又因为双曲线过点（4，），则=1，

即有a4-40a2+144=0，

解得a2=4或a2=36（舍去）

所以双曲线的方程为=1；

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|

又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|-|PF2|）2+|=4a2=16，

则|PF1|•|PF2|=20，

则=|PF1|•|PF2|•sin60°==5．

解析

解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），

设双曲线的方程为-=1，

又因为双曲线过点（4，），则=1，

即有a4-40a2+144=0，

解得a2=4或a2=36（舍去）

所以双曲线的方程为=1；

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|

又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|-|PF2|）2+|=4a2=16，

则|PF1|•|PF2|=20，

则=|PF1|•|PF2|•sin60°==5．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•吉林校级期中）“m＞-1”是“方程-=1表示双曲线”的一个______条件．

正确答案

充分不必要

解析

解：若方程-=1表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0

∴m＜-2或m＞-1，

∴“m＞-1”是“方程-=1表示双曲线”的一个充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

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题型：单选题

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单选题

与圆C1：x2+（y+1）2=1及圆C2：x2+（y-4）2=4都外切的动圆的圆心在（　　）

A一个圆上

B一个椭圆上

C双曲线的一支上

D一条抛物线上

正确答案

C

解析

解：由已知得C1的圆心坐标（0．-1），r1=1，

C2的圆心坐标（0，4），r2=2，

设动圆圆心M，半径r，则|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，

∴|MC2|-|MC1|=1，

由双曲线的定义可得：动圆的圆心在双曲线的一支上．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知定点A、B，且|AB|=6，动点P满足|PA|-|PB|=4，则PA的最小值为______．

正确答案

5

解析

解：根据双曲线的定义可知P点轨迹为双曲线的右支，如图，

c=3，2a=4，a=2，

当P在双曲线的顶点时|PA|有最小值，

最小值为2+3=5．

故答案为：5．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•石家庄校级期末）已知双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（　　）

A+1

B2+1

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c

由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2-2×4a×2a×，

∴e=．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则有，两式相减，

得，

由直线方向向量=（6，6）得kAB=1，

截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，

∴，a2=4b2得双曲线的离心率=

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），则双曲线的焦距为______．

正确答案

4

解析

解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，

∴=4，

双曲线的一条渐近线的方程是y=-，而抛物线的准线方程为x=-，

∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，2），

∴2=，=2，

∴p=4，a=b=2，

∴c==2

∴2c=4，

故双曲线的焦距为4．

故答案为：4．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A（1，3]

B（1，3）

C（3，+∞）

D[3，+∞）

正确答案

A

解析

解：设P点的横坐标为x

∵|PF1|=2|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）

根据双曲线的第二定义，可得2e（x-）=e（x+）

∴ex=3a

∵x≥a，∴ex≥ea

∴3a≥ea，∴e≤3

∵e＞1，∴1＜e≤3

故选A．

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题型：简答题

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简答题

点A位于双曲线=1（a＞0，b＞0）上，F1F2是它的两个焦点，求△AF1F2的重心G的轨迹方程．

正确答案

解：设A（m，n），则-=1，①

F1（-c，0），F2（c，0），

设△AF1F2的重心G为（x，y），

则，即为，

代入①可得，-=1．

即有所求重心G的轨迹方程为-=1．

解析

解：设A（m，n），则-=1，①

F1（-c，0），F2（c，0），

设△AF1F2的重心G为（x，y），

则，即为，

代入①可得，-=1．

即有所求重心G的轨迹方程为-=1．

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题型：单选题

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单选题

已知M（-2，0），N（2，0），||PM|-|PN||=3，则动点P的轨迹是（　　）

A圆

B椭圆

C抛物线

D双曲线

正确答案

D

解析

解：∵M（-2，0），N（2，0），||PM|-|PN||=3，

∴动点P是以点M（-2，0），N（2，0），为焦点，3为长轴长的双曲线．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与y2=20x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则双曲线的方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

Dx2-=1

正确答案

C

解析

解：∵抛物线方程为y2=20x，∴2p=20，得抛物线的焦点为（5，0）．

∵双曲线的一个焦点与抛物y2=20x的焦点重合，

∴双曲线的右焦点为F（5，0）

∴a2+b2=c2=25

∵双曲线的离心率等，∴=，

∴a2=5，b2=20，

∴该双曲线的方程为．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

解：∵MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，

∴|MN|=，

∴N（，y），

∵|F1Q|=|QN|，

∴Q是F1N的中点，

∴Q（-c，y），

N，Q代入双曲线C：-=1，可得-=1，-•=1，

∴e=．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

求与双曲线有公共渐近线，且焦距为8的双曲线的方程．

正确答案

解：设出所求的双曲线的方程为，

依题意可知求得a=，b=

∴双曲线的方程为：．

解析

解：设出所求的双曲线的方程为，

依题意可知求得a=，b=

∴双曲线的方程为：．

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