圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

双曲线的焦点为（0，6），（0，-6），且经过点A（-5，6），则其标准方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

B

解析

解：由题意，A到两焦点的距离的差的绝对值为-5=8=2a，

∴a=4，

∵c=6，

∴b=，

∴双曲线的标准方程为-=1．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作B1B2⊥x轴交双曲线于B1、B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H，求证：H的横坐标为定值．

正确答案

证明：由于F（c，0），F1（-C，0），

则直线BB1：x=c，代入双曲线方程得，y=，

即有B1（c，），B2（c，-），

直线B2F1：y=-（x+c），与双曲线的交点B的坐标满足，

，解得B（，），

直线BB1的斜率为kBB1==，

直线BB1：y=kBB1（x-c）+，

令y=0，则x=c-=-，

故H的横坐标为定值，且为-．

解析

证明：由于F（c，0），F1（-C，0），

则直线BB1：x=c，代入双曲线方程得，y=，

即有B1（c，），B2（c，-），

直线B2F1：y=-（x+c），与双曲线的交点B的坐标满足，

，解得B（，），

直线BB1的斜率为kBB1==，

直线BB1：y=kBB1（x-c）+，

令y=0，则x=c-=-，

故H的横坐标为定值，且为-．

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题型：简答题

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简答题

已知直线与向量=（2，-1）垂直，且与抛物线y2=4x交于A、B两点，若AB的中点在双曲线x2-y2=8，求直线的方程．

正确答案

解：由直线与向量=（2，-1）垂直，

则直线的方向向量为（1，2），即有斜率为2，

设直线方程为y=2x+t，

代入抛物线方程y2=4x，

可得4x2+（4t-4）x+t2=0，

判别式（4t-4）2-16t2＞0，解得t＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=1-t，

则AB的中点的横坐标为，

即有y=1-t+t=1，

即有AB中点为（，1），

代入双曲线方程x2-y2=8，

即有（）2-12=8，

解得t=-5或7（舍去）．

则所求直线为y=2x-5．

解析

解：由直线与向量=（2，-1）垂直，

则直线的方向向量为（1，2），即有斜率为2，

设直线方程为y=2x+t，

代入抛物线方程y2=4x，

可得4x2+（4t-4）x+t2=0，

判别式（4t-4）2-16t2＞0，解得t＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=1-t，

则AB的中点的横坐标为，

即有y=1-t+t=1，

即有AB中点为（，1），

代入双曲线方程x2-y2=8，

即有（）2-12=8，

解得t=-5或7（舍去）．

则所求直线为y=2x-5．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的两个焦点为F1（-，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（　　）

A-y2=1

Bx2-=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵•=0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，

∴|MF1|2+|MF2|2=40，

∴（|MF1|-|MF2|）2=|MF1|2-2|MF1|•|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36，

∴||MF1|-|MF2||=6=2a，a=3，

又c=，∴b2=c2-a2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

如图，F1，F2分别是双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是______．

正确答案

解析

解：依题意F1（-c，0），B（0，b），

∴直线F1B的方程为：y-b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2-a2=0，

整理得：b2x2-2a2cx-a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，

∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=-（与直线F1B垂直），

∴直线MN的方程为：y-=-（x-），令y=0得M点的横坐标x=c+=．

∵|MF2|=|F1F2|，

∴-c=2c．

∴c2=3b2=3（c2-a2），

∴c2=a2，

∴e==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

求与双曲线=1共渐近线且过A（3，-3）的双曲线的方程．

正确答案

解　设与双曲线=1共渐近线的双曲线的方程为，

因为双曲线过A（3，-3），

所以=λ，解得λ=，

所求双曲线的方程为．

解析

解　设与双曲线=1共渐近线的双曲线的方程为，

因为双曲线过A（3，-3），

所以=λ，解得λ=，

所求双曲线的方程为．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C4

D

正确答案

D

解析

解：∵（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，

∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2-3ab，

∴4a2+3ab-b2=0，

∴a=，

∴c==b，

∴e==．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知三点P（5，2），F1（-6，0），F2（6，0）．

（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；

（2）求以F1，F2为顶点，以（1）中椭圆长轴端点为焦点的双曲线方程．

正确答案

解：（1）设所求椭圆方程为

依题意有，解得b2=9，a2=45

故所求椭圆的方程为…（4分）

（2）设所求双曲线方程为，依题意知a2=36，b2=45-36=9

故所求双曲线方程为…（8分）

解析

解：（1）设所求椭圆方程为

依题意有，解得b2=9，a2=45

故所求椭圆的方程为…（4分）

（2）设所求双曲线方程为，依题意知a2=36，b2=45-36=9

故所求双曲线方程为…（8分）

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线方程是9x2-y2=-81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．

正确答案

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

解析

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•湖北校级期末）双曲线2x2-y2=m的一个焦点是（0，），则m的值是______．

正确答案

-2

解析

解：双曲线2x2-y2=m，即，

由题意知m＜0，它的焦点为（0，±），

∴=，

∴m=-2，

故答案为：-2．

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题型：填空题

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填空题

双曲线-x2=1的两个焦点的坐标分别是______．

正确答案

（0，），（0，-）

解析

解：双曲线-x2=1可知焦点在y轴上，a=，b=1，∴c=，

双曲线的焦点坐标（0，），（0，-）．

故答案为：（0，），（0，-）．

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题型：简答题

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简答题

过点M（-2，0）作直线l与双曲线x2-y2=1交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．

正确答案

解：设直线l的方程为y=k（x+2），代入双曲线x2-y2=1，可得（1-k2）x2-4k2x-4k2-1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=

∴AB的中点为（，），

设P（x，y），则x=，y=

∴x2+4x-y2=0；

当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，把x=-2代入双曲线x2-y2=1得，A（-2，），B（-2，-），P（-4，0）同样满足．

解析

解：设直线l的方程为y=k（x+2），代入双曲线x2-y2=1，可得（1-k2）x2-4k2x-4k2-1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=

∴AB的中点为（，），

设P（x，y），则x=，y=

∴x2+4x-y2=0；

当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，把x=-2代入双曲线x2-y2=1得，A（-2，），B（-2，-），P（-4，0）同样满足．

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P为曲线右支上的一点，则△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为______．

正确答案

（a，0）

解析

解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．

由双曲线的定义，PF1-PF2=2a=4．

由圆的切线性质PF1-PF2=FIM-F2N=F1Q-F2Q=2a，

∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F1Q=a+c，F2Q=c-a，

∴OQ=F1F2-QF2=c-（c-a）=a．

故答案为：（a，0）．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的右焦点F（2，0），设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过点F，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C4

D2

正确答案

D

解析

解：根据题意，设A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

∵焦点F（2，0）在以线段AB为直径的圆上，

∴∠BFA=90°，可得•=（x1-2）（-x1-2）-y12=0，

即为x12+y12=4，…①

又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．

由①②联解消去x1、y1，得-=，…③

又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2-a2=4-a2，

∴代入③，化简整理得a4-8a2+7=0，解之得a2=1或7，

由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．

故a2=1，得a=1，离心率e==2．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知F1，F2是双曲线的两个焦点，点P是该双曲线和圆x2+y2=a2+b2的一个交点，若sin∠PF1F2=3sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵F1，F2是双曲线的两个焦点，

∴双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0），

∵圆方程为x2+y2=a2+b2，即x2+y2=c2，

∴该半径等于c，且圆经过F1和F2，

∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2的交点，

∴△PF1F2中，|OP|=c=|F1F2|，∴∠F1PF2=90°，

∵sin∠PF1F2=2sin∠PF2F1，

∴|PF2|=3|PF1|．

设|PF1|=x，则|PF2|=3x，

由双曲线性质得3x-x=2x=2a，

∴|PF1|=a，则|PF2|=3a，

由勾股定理得（a）2+（3a）2=（2c）2，

解得c=a，

∴e==．

故选：B．

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